Données insuffisantes - Solution

Le circuit automobile

Considérons une perpendiculaire à la route.
Lorsqu'elle se déplace le long de la route, en fonction du rayon de courbure R de la route en ce point, elle tourne de dt.
La différence de longueur entre ses deux extrémités est :
(R + h/2)dt - (R - h/2)dt = h.dt, indépendant de R à cet endroit.
La différence de longueur sur l'ensemble du circuit est la somme de tous ces éléments :
∫h.dt = h∫dt = 2πh puisque notre perpendiculaire a tourné en tout d'un tour complet 2π.
h = 10m donne une différence de 20π = 62,8...m

La bande de papier

soit d = R - r la distance entre le bouchon et la bande de papier. 2π(r + d) = 2πr + 1
D'où 2πd = 1 et d = 1/2π = 0,159... m est indépendant de r !

La sphère trouée

Le plus simple est de calculer directement le volume restant par une intégrale.
On découpe en tranches de rayon x, d'altitude y, d'épaisseur dy et donc de volume dv = π(x² - r²)dy
Comme x² + y² = R² et h² + r² = R², on a dv = π(R² - y² - r²)dy = π(h² - y²)dy
En intégrant entre -h et +h on obtient V = ∫π(h² - y²)dy = 2πh³ - 2πh³/3 = 4πh³/3
Le volume restant ne dépend que de la hauteur du trou !
Avec 2h = 6cm, V = 36π = 113,097...cm³