Multiplication incomplète (1)

abcdef       ABCDEFG
***4** x 7 = 6743*56

7 x f = G = 6 (modulo 10) donc f = 8, reste 5
7 x e + 5 = 5 (modulo 10) donc e = 0, reste 0
7 x d = 7 x 4 = 28 donc E = 8, reste 2
7 x c + 2 = 3 (modulo 10) donc c = 3, reste 2
7 x b + 2 = 4 (modulo 10) donc b = 6, reste 4
7 x a + 4 = 7 (modulo 10) donc a = 9, reste 6 = A

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Multiplication incomplète (2)

  abcdef
A    ***
B  x *2*
  ------
C    ***
D  ****
E  *8*
  ------
F **9*2*

D = 2 x A ayant 4 chiffres et C = B_f x A ayant 3 chiffres, B_f < 2 et comme il est différent de 0 (C non nul), B_f = 1 et de même pour B_d = 1 B = 121 Donc C=E=A. En particulier C_e = A_e = 8.
C_e + D_e = F_e (modulo 10) soit 8 + D_e = 2 (modulo 10) et D_e = 4
D_e = 2 x A_f donc A_f = 2 (modulo 5) soit A_f = 2 ou 7.
A ≤ 989 et 2 x A ≤ 1978 donc D_b = 1
Appelons x_i la retenue à ajouter à la colonne i. Alors x_c est au plus 2 (addition de 3 nombres) et x_b est au plus 1
D_b + E_b + x_b ≥ 10 soit E_b = A_d = 8 ou 9
D_c = 2 x A_d + 1 (modulo 10), la retenue venant de 2 x A_e = 2 x 8. Donc D_c = 7 ou 9.
Sur la colonne c, D_c + 8 + x_c = 9 (modulo 10) soit D_c + x_c = 1 (modulo 10).
Comme D_c est 7 ou 9 et x_c est 0, 1 ou 2, la seule possibilité est D_c = 9 et x_c = 2, et donc A_d = 9
C_e = 8 et D_e = 4 donne x_d = 1, D_d = 2 x 8 ou 2 x 8 +1 est 6 ou 7, et alors C_d + D_d + E_d + x_d ≥ 20 (x_c = 2) donne
E_d ≥ 20 - 7 - 9 - 1 soit E_d = A_f ≥ 3
Finalement A_f ne peut plus être que 7 et A=987

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Division incomplète (1)

   abcdefg     hjkmn
N  ******* | D **
1 -***     |------
  ----     | Q **8**
2  000**   |
3    -**   |
     ---   |
4     0*** |
5     -*** |
      ---- |
       001 |

Comme aux lignes (2) et (4) on a abaissé deux chiffres, ceci donne deux zéros dans Q_j et Q_m.
Ligne (3) donne 8 x D ≤ 99 soit D ≤ 12.
Lignes (1) et (5) donnent Q_h x D et Q_n x D ≥ 100. Par conséquent Q_h et Q_h x D > 8 et donc Q = 90809
9 x D ≥ 100 donnent D ≤ 12 et finalement D = 12 et N = 1089709

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Division incomplète (2)

   abcdefghjk
N  ********** | D ?
1 -***        |----------
  ----        | Q *****8**
2    ***      |   mnpqrstu
3   -***      |
    ----      |
4     ***     |
5    -***     |
     ----     |
6       0**   |
7       -**   |
        ---   |
8         *** |
9        -*** |
         ---- |
            0 |

Là aussi, les chiffres abaissés des lignes (2), (6) et (8) donnent Q_n = Q_r = Q_t = 0.
La ligne (7) donne 8 x D ≤ 99 soit D≤ 12.
Les lignes (1), (3), (6) et (9) donnent les chiffres de Q restants > 8 c'est à dire Q = 90990809
Elles donnent aussi 9 x D ≥ 100 donc D ≥ 12 et finalement D = 12 et N = 1091889708.

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Division incomplète (3)

   abcdef     ghj
N  ****** | D ***
1 -****   |-----
  -----   | Q *8*
2    ***  |
3   -***  |
    ----  |
4    **** |
5   -**** |
    ----- |
        0 |

Les nombres de chiffres des lignes (1), (3) et (5) donnent immédiatement Q = 989
Et aussi 9 x D ≥ 1000 soit D ≥ 112 = D_min ainsi que 8 x D ≤ 999 soit D ≤ 124 = D_max.
Les lignes (1) et (2) donnent N_abcd ≤ 9 D_max + 99 et donc N ≤ 900 D_max + 9999
Ceci donne aussi D ≤ E[(900 D_max + 9999)/989] avec E[x] partie entière de x
Cette inégalité donne une nouvelle valeur maximum de D inférieure ou égale.
Un processus de descente de D_max se produit alors tant que l'inégalité est stricte c'est à dire
989 D > 900 D +9999 soit D > 9999/89 ou D > 112. Le processus de descente s'arrête alors avec D_max = 112
Finalement D = 112 et N = 110768

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Division incomplète (4)

   abcdefghjk |   mnpqrs
N  **7******* | D ****7*
1 -******     |-------
  -------     | Q **7**
2  ****77*    |
3 -*******    |
  --------    |
4    *7****   |
5   -*7****   |
    -------   |
6    *******  |
7   -****7**  |
    --------  |
8      ****** |
9     -****** |
      ------- |
            0 |

Les nombres de chiffres des produits partiels lignes (1), (3), (5), (7) et (9) avec Q_p = 7
permettent d'affirmer que Q_n et Q_q ≥ 8 et que Q_m et Q_r < Q_n et Q_q.
Ligne (5) : 7 D ≤ 979999 soit D≤ 139999 et donc D_m = 1 ...