Cryptarithmes - Solutions

Le fils prodigue

   abc
   SEND
+  MORE
= MONEY

M est 1 (9999+9999 est au plus 19998). Appelons a, b, c les retenues.
S+M+a au moins égal à 10 donc S est 8 ou 9 et O est 0 ou 1, comme il est différent de M, O=0.
E+O+b=N modulo 10 donne N=E+1, b=1, a=0 et S=9.
Remplaçons N par E+1, c+(E+1)+R=E modulo 10 soit R+c+1=0 modulo 10, soit R=8 et c=1 (R différent de S=9).
Y est au moins 2 (0 et 1 déja pris) donc D+E est au moins 12 et comme 8 et 9 sont pris, l'un vaut 7 et l'autre 5 ou 6.
Comme N=E+1 est au plus 7 (8 et 9 déjà pris), E est au plus 6 et donc D=7.
Comme N ne peut plus être 7=D, E est même au plus 5 et E=5. Il vient finalement N=E+1=6 et Y=2.

Le père

Il est plus facile de raisonner sur l'addition correspondante MONEY+LESS=SPEND, avec les retenues a,b,c.

   abc
   LESS
+ MONEY
= SPEND

N est alors visiblement 0 ou 9 (b+E+N=E modulo 10). Si N=0, c+S+E=10, donc b=1 et N=9.
Réciproquement si N=9, c+S+E=9 donc b=0 et N=0.
Cette opération est donc impossible.

Villes

  abcde
  RENNES
+ NANTES
= ANGERS

S+S=S modulo 10 donne S=0, e=0, R=2E modulo 10.
A=N+R+a>N mais alors b+E+A=N modulo 10 indique que a=1.
On a modulo 10 :
A=N+R+1
N=A+E+b
R=2E
En ajoutant membre à membre il vient 3E+b+1=0 modulo 10 et comme b=0 ou 1, 3E=8 ou 9 modulo 10.

Si 3E=8 mod 10 alors E=6 b=1 d=1 R=2
N=A-R-a est au plus 9-3=6 et en fait 5 car différent de E et même 4 car T=E-N-d modulo 10 différent de 0
Mais b=1 donne 2N+c au moins 10 et donc N au moins 5 ce qui est contradictoire.

Donc 3E=9 mod 10 et alors E=3 b=0 d=0 R=6, N au plus 9-7=2, c'est à dire 1 ou 2 Alors N+T+d=E modulo 10 donne c=0 et T=2 ou 1. Mais alors G=2N modulo 10 interdit N=1 G=2 (car G serait égal à T)
Donc finalement N=2, T=1, G=4 et A=9.

Pays

  abcde
  SUISSE
+  SUEDE
= BRESIL

a=1 et B=S+1
S+E+d=S modulo 10 donc E=0 ou 9, et comme L=2E modulo 10, E est 9, d=1, c=1, L=8, e=1
c+I+U=E modulo 10 ne peut donner de retenue b=1 avec I et U différents de 9, donc b=0

  10111
  SUISS9
+  SU9D9
= BR9SI8

1+I+U=9 et S+D+1=I+10, donc S+D+U=17.
6+5+4=15 et 7+6+5=18, donc une des trois vaut 7, les deux autres sont 6 et 4.
B=S+1 et B au plus 5 (6,7,8,9 sont prises) donne S au plus 4 et donc S=4 et B=5.
Restent {D,U}={6,7}. R=U+S=U+4 et I=S+D+1=D+5 modulo 10 étant différents, U est différent de D+1,
donc D=7 et U=6, R=0, I=2.

Planètes

  abcdef
  JUPITER
+ SATURNE
+  URANUS
= NEPTUNE

R+S=10 et f=1. f+E+U=10 donc e=1 et E+U=9
c+R+T=10 et comme S≠T, c≠0. e+R+T=U-N donne R+T≠9 et donc c≠1. Finalement R+T=8 et c=2, b=1.
U=e+T+R+N=9+N modulo 10 et comme N≠0, N=U+1 et d=1
b+A+2U=E modulo 10 avec E+U=9 donne A+1+3U=9 soit A+3U=8 modulo 10
d+I+U+A≥20 (c=2) et comme d+I est au maximum 10, U+A≥10 et a=1 ou 2.
N=J+S+a≥4 et U=N-1≥3 donc E=9-U≤6 et comme E≠0 car N=U+1 donne U≠9, finalement 1≤E≤6

E=1, U=8, N=9, A=4, a=2, J+S=7 avec A=4 et E=1 reste S=2 ou 5.
R+S=10 interdit S=5=R et S=2 R=8=U et donc cette posibilité pour E
E=2, U=7, N=8, A=7, éliminé car A=U
E=3, U=6, N=7, A=0, éliminé car A+U<10
E=4, U=5, N=6, A=3, éliminé car A+U<10
E=5, U=4, N=5, éliminé car N=E
E=6, U=3, N=4, A=9, a=1, J+S=3=1+2 R+S=10 interdit S=1 R=9=A, donc S=2, J=1, R=8, T=0
1+I+U+A=T mod 10 donne I=7. Reste P=5 seul chiffre restant et la solution.

onze

  abc
  NEUF
+   UN
+   UN
= ONZE

a=1 et b=1 ou 2.
E+b>9, E+b=N≠0 modulo 10 donc E=9 et b=2, N=1, O=2.
Donc F=7 et c=0.
3U=Z+20 donne U≥7 donc U=8 (7 et 9 déja pris) et Z=4
Reposant...

trente

   abcd
    CINQ
+   CINQ
+  VINGT
= TRENTE

a est au plus 2, donc T=1. Comme R≠T, R=0 et V=8 avec a=2, ou V=9 avec a=1.
2I+c=0 modulo 10 comme d+2N+G=1 modulo 10, c est non nul et c=2, 2I=8 mod 10 I=4 ou 9
2Q+T=2Q+1≤19 donc d=0 ou 1 et 2N+G=20 ou 21. soit N≥6

Si I=9, V=8 et a=2, b=2 car c+I+I+N≥2+18, 2C+11≥22 (car E au moins 2) soit C>5 et C=6 ou 7.
Alors E=2C+I+b vaut respectivement 3 ou 5 et Q=(E-T)/2={1,6} ou respectivement {2, 7}.
La seule possibilité Q≠C est Q=2 et C=7, E=5, d=0.
N≥6 donne N=6 car C=7, V=8 et I=9 sont déja pris. Alors G=9=I interdit I=9.

Donc I ne peut être que 4 . Alors c+2I+N≤19 et b=1.
b+2C+I>9 donne C au moins 3.
C=3 ou 8 implique E=1 rejeté.
E=2Q+1=2C+5 modulo 10 soit Q=C+2 modulo 5. Comme Q≠9 (E=9=Q) et de 4 (I=4), C≠2 et ≠7.
C=9 donne E=3 et Q=6, a=2 donc V=8, la seule valeur restante pour N=7 et G=20-2N=6=Q.
Restent C={5,6}. Si C=5, alors E=2C+5=5 aussi.
La seule possibilité restante est C=6. Alors E=7, a=1 et V=9, Q=2 ou 7 donc Q=2 et d=0.
La seule valeur restante pour N≥6 est N=8 donc G=21-2N=5 et la solution.

sixty

  abcd
  FORTY
+   TEN
+   TEN
= SIXTY

2xEN=0 modulo 100 donne EN=50, d=0, c=1.
a vaut 1 et S=F+1.
O=8 b=2 ou O=9 b=1 ou 2. Comme I≠N=0, O=9, I=1, b=2.
R+2T+1≥22. et comme R est au maximum 8, T≥(21-8)/2, T≥7.
Si T=7, alors R≥21-2T=7 soit R=8 et X=3. Restent pour F, S et Y 2, 4 et 6.
Comme S=F+1, c'est impossible.
Donc T=8. R≥5 et même R=6 ou 7 car E=5 T=8 et O=9 sont pris.
Si R=6, alors X=3 et il reste {F,S,Y}={2,4,7}, impossible car S=F+1.
Finalement R=7 donc X=4 et {F,S,Y}={2,3,6} donne la seule solution avec S=F+1 : S=3, F=2 et Y=6.

eighty

  abcde
+ TWENTY
+ TWENTY
+ TWENTY
+    TEN
+    TEN
= EIGHTY

T≤3
2(TY+EN)=0 modulo 100 donc TY+EN=0 ou 50 modulo 100
C'est à dire Y+N=10 e=2, et T+E=4 ou 9 modulo 10.
Comme T est au plus 3, T=1 et E={3,8}, T=2 E=7, T=3 E={1,6}
T=1 E=8 est éliminé car E<3T+3
T=3 E=1 et T=3 E=6 aussi car E≥3T,
Restent T=1, E=3 et T=2, E=7 :

T=2, E=7, a=1, d=2, b=2 10≤3W+2≤19 soit 3≤W≤5
W=4 donne I=3W+2=4 est rejeté
W=5 donne I=7=E est rejeté donc W=3, I=1
G=3E+c=c+1 modulo 10 différent de I=1, T=2 et de W=3, soit c≥3 et 3N+d+2T=3N+6≥30
Donc N≥8 et 1≤Y≤2 ne peut être différent de T=2 et I=1
T=1, E=3, a=0, d=1.
a=0 donc W≤2. Mais W=0 implique I=b=2 incompatible avec E=3, donc W=2 et I=6 ou 7.
G=3E+c=9+c modulo 10 différent de T=1, W=2 et de E=3 donc c différent de 2,3,4 vaut 0 ou 1
Alors 3N+2T+d=3N+3≤19 soit N≤5 et comme Y+N=10, N est différent de 0 et 5.
Soit N=4, H=3N+2T+d=5, Y=6, G=0, I=7 et la solution.

ALEPHNULL = AHH³

HH³ = LL mod 100
donc H n'est pas solution de X³ = X mod 10
c'est à dire pas 0,1,4,5,6,9 et il ne reste que 4 nombres à essayer au lieu de 99 :
22³, 33³, 77³ and 88³ et seul 77³ donne un LL = 33.
Alors AHH > 100000000 donne AHH > 465,
mais alors AHH³ > 400000000 car commençant par A, soit AHH > racine cubique de 400000000 soit 736.
Et il y a juste à essayer 877 et 977, en vérifiant déja que le chiffre du cube est un A.
Seul 977³ reste pour le test final.

INVENTORY = RYE³

Le point de départ est juste dans la terminaison RY qui donne YE³ = RY modulo 100
N'importe quel chiffre Y peut être un cube mod 10 mais il faut rejeter E³ = E mod 10
c'est à dire 0,1,4,5,6,9 restent E = 2,3,7,8 et les valeurs correspondantes de Y :
Y = 8,7,3,2, soit YE = 82, 73, 37, 28
et seulement 4 cas et de l'équation mod 100 ci dessus, les valeurs correspondantes de R : 6, 1, 5, 5
Donc seulement 4 cubes candidats :

682³ = 317214568 compatible avec INVENTORY
173³ = 5177717 rejeté
537³ = 154854153 rejeté car N ≠ R (les deux 5)
528³ = 147197952 rejeté car I ≠ E (les deux 1)