Cryptarithmes 2 - Solutions

Zodiaque

   BELIER
+  CANCER
+ BALANCE
= TAUREAU

Il n'y a pas de relation simple permettant de résoudre par raisonnement.
Le plus efficace est de balayer toutes les valeurs possibles en choisissant dans cet ordre E, puis R, ce qui donne U, puis C ce qui donne A, puis I qui donne N et L.
Un premier critère de rejet est alors E+A+L+retenue=U modulo 10.
Les posibilités ayant survécu jusque là donnent B et le dernier critère de rejet B+retenue=T≤9.
A chaque étape bien sûr il y a rejet si les lettres nouvellement trouvées sont égales à une autre.
Un programme utilisant cette méthode donne la solution unique : E=7 R=1 C=4 I=2 U=9 A=8 N=0 L=3 B=5 T=6

plus

Fruits

  abcde
  FRAISE
+ CITRON
+ CERISE
= RAISIN

Bien sûr E=0 ou 5, mais à part ça...
On va encore faire confiance à un programme...
Une fois choisi E, ce qui donne e, choix de S puis O, ce qui donne I et d puis R et c. Le choix de A donne alors T puis b et on vérifie déja que R+I+E+b=A modulo 10 et on obtient a.
Reste à choisir F on obtient C et on vérifie a+F+2C<10.
Le programme donne la solution unique : E=0 S=1 O=4 A=7 F=2 C=3 R=9 I=6 T=8 N=5.

plus

La vache folle

On écrit sous forme d'addition plus sympathique :

                abcde
  OISEAU         VACHE
- CHEVAL      + CHEVAL
=  VACHE      = OISEAU

a=1 O=C+1
H+e=0 modulo 10. Si H=0, V+b=I+10 donne V=9 I=0=H. Donc H=9 e=1, d=1.
b=0 (car V≠I) et donc V=I+1.
O est alors au plus 8 et C au plus 7.
Mais à part ça... un programme donne la solution unique :
VACHE=12496, CHEVAL=496127 OISEAU=508623

plus

Le tigron

  abcde
   TIGRE
+ LIONNE
= TIGRON

a=1, b+T=10 donc b=1 et T=9 donc L=8. E est non nul sinon N=0=E.

La preuve par 9 donne T+I+G+R+E+L+I+O+N+N+E=T+I+G+R+O+N modulo 9 soit L+I+N+2E=0 modulo 9 et I+N+2E=1 modulo 9. 3<I+N+2E<5+6+2x7=25 donc I+N+2E=10 ou 19.
N=2E modulo 10 soit N=2E (E<5) ou N=2E-10 (E>4). Portons N dans l'équation précédente :
I+4E=20 avec E au moins 5 impossible. Restent I+4E=10, I+4E=19 et I+4E=29 qui donnent le tableau suivant :

E	I	N	e
1	6	2	0	(E=2 I=2)
3	7	6	0	(E=4 I=3 N=8=L et (E=5 I=9=T)
6	5	2	1
7	1	4	1

I+O+c=G+10.
Comme I,O<8 G≤7+6+1-10=4
I≥0+10-7-1=3 interdit la dernière ligne du tableau précédent (donc I=5,6 ou 7)
On examine chaque valeur de G ce qui donne I et O donc E N et e, puis R=O-N-e modulo 10.
On vérifie G+N+d=R modulo 10 c'est à dire (G+N) modulo 10 est R ou R-1.

G=4 c+I+O=14
- 14=1+6+7 : (I=7 O=6=N) I=6 O=7 E=1 N=2 e=0 R=5 G+N=6>R
G=3 c+I+O=13
- 13=1+5+7 : I=7 O=5 E=3 N=6 e=0 R=9=T
- 13=0+6+7 : (I=7 O=6=N) I=6 O=7 E=1 N=2 e=0 R=5 G+N=5 et une solution
G=2 c+I+O=12
- 12=1+5+6 : (I=5 O=6=E) I=6 O=5 E=1 N=2 e=0 R=3 G+N=4>R
- 12=1+4+7 : I=7 O=4 E=3 N=6 e=0 R=8=L
- 12=0+5+7 : (I=5 O=7 E=6 N=2=G) I=7 O=5 E=3 N=6 e=0 R=9=T
G=1 c+I+O=11
- 11=1+4+6 : I=6 O=4 E=1 N=2 e=0 R=2=N
- 11=1+3+7 : I=7 O=3=E
- 11=0+5+6 : (I=5 O=6=E, I=6 O=5 E=1=G)
- 11=0+4+7 : I=7 O=4 E=3 N=6 e=0 R=8=L
G=0 c+I+O=10
- 10=1+4+5 : I=5 O=4 E=6 N=2 e=1 R=1 G+N=2>R
- 10=1+3+6 : I=6 O=3 E=1 N=2 e=0 R=1=E
- 10=1+2+7 : I=7 O=2 E=3 N=6 e=0 R=6=N
- 10=0+4+6 : I=6 O=4 E=1 N=2 e=0 R=2=N
- 10=0+3+7 : I=7 O=3 E=3 N=6 e=0 R=7=I

et donc la seule solution T=9 L=8 G=3 I=6 O=7 E=1 N=2 R=5.

carré

  abcd
  VALET
+ VALET
+ VALET
+ VALET
= CARRE

4A+b=A soit 3A+b=0 modulo 10 donc A=0 b=0 a=0, ou A=3 b=1 a=1, ou A=6 b=2 a=2, ou A=9 b=3 a=3.

4V=C<9 donc V=1 ou 2
V=2, C=8, a=0 donc A=0 b=0
V=2, C=9, a=1 donc A=3 b=1
V=1, C=4, a=0 donc A=0 b=0
V=1, C=5, a=1 donc A=3 b=1
V=1, C=6 est exclus car dans ce cas a=2 soit A=6=C
V=1, C=7, a=3 donc A=9 b=3

Attaquons le problème par l'autre bout :
T est non nul (différent de E)
Si T=1, E=4, R=6 : 4L+1=6 modulo 10 imposible
T=2, E=8, R=2=T
T=3, E=2, R=9 : 4L=9 modulo 10 impossible
T=4, E=6, R=5 : 4L+2=5 modulo 10 impossible
T=5, E=0, R=2 : 4L=2 modulo 10 donc L=3 modulo 5
Alors V=1, C=7 A=9 et b=3 donne L=8 est solution : VALET=19805 CARRE=79220
T=6, E=4, R=8 : 4L+1=8 modulo 10 impossible
T=7, E=8, R=4 : 4L+3=4 modulo 10 impossible
T=8, E=2, R=1 : V ne peut plus etre 1 ou 2
T=9, E=6, R=7 : 4L+2=7 impossible
La solution est donc unique.

centun

     DIX²
   +  UN²
= CENTUN

D est au moins 3 (racine de 102345-98²=304,... soit DIX>304)
X²+N²=N modulo 10, les carrés modulo 10 sont 0, 1, 4, 9, 5, 6.
Pour chaque valeur de N, le calcul de N-N² modulo 10 permet de ne conserver que les cas :
N=1 X²=1-1=0 donc X=0
N=3 X²=3-9=4 X=2 ou 8
N=5 X²=5-5=0 X=0
N=6 X²=6-6=0 X=0
N=8 X²=8-4=4 X=2

Donc X=0, 2 ou 8. IX²+UN²=UN modulo 100
X=0, alors IX²=00 modulo 100 et UN=25 ou 76 (U non nul).
X=2 N=3
X=2 N=8
X=8 N=3
Un programme pour balayer tous ces cas donne la solution unique : 480²+76²=236176

plus

trigonomètrie

    SIN²
  + COS²
= UNITE

UNITE≤98765 et SIN,COS≥102 donne SIN,COS≤297, soit {S,C}={1,2}

S=1 C=2. Alors N est différent de 0 (E=1) et 9 (E=2) soit respectivement :
N={3,4,5,6,7,8} avec E=N²+1={0,7,6,7,0,5}
Pour chacune, on choisit alors O et I parmi les 6 chiffres restants soient 30 possibilités et on teste les 180 résultats de SIN²+COS²
reste S=2 C=1. E=N²+4
N=3 donne E=3 et N=8 donne E=8 sont éliminées, restent :
N={0,4,5,6,7,9} E={4,0,9,0,3,5}
Pour chacune, on choisit alors O et I parmi les 6 chiffres restants soient 30 possibilités et on teste les 180 résultats de SIN²+COS²

A l'issue de ces 360 calculs, on obtient la solution.
Les 360 cas sont testés par un programme qui donne la solution unique : 235²+142²=75389

plus

centdix

     ONZE
   x  DIX
= CENTDIX

4 cas pour E et X avec E.X=X modulo 10 : E=1, E=6 et X pair, X=0, X=5 et E impair.
(ONZE-1)DIX=CENDIX-DIX=0 modulo 1000 soit (NZE-1)DIX multiple de 1000=8x125
Les posibilités d'avoir (NZE-1)DIX multiple de 1000 sont encore trop nombreuses (891 cas avec des chiffres différents et D non nul) et un programme les balaye toutes puis trouve la solution unique :
4921 x 650 = 3198650

plus

eighty (1)

     ONE
+   NINE
+  FIFTY
+ TWENTY
= EIGHTY

E=T+1, comme T au moins 1, E est au moins 2
2xNE+TY=0 modulo 100 donne pour chaque valeur de E les valeurs de N, T, Y.
E=2, Y=6, T=1 2N=8 soit N=4 ou 9
E=3, Y=4, T=2 2N=7 impossible
E=4, Y=2, T=3 2N=6 N=8
E=5, Y=0, T=4 2N=5 impossible
E=6, Y=8, T=5 2N=3 impossible
E=7, Y=6, T=6 rejeté
E=8, Y=4, T=7 2N=1 impossible
E=9, Y=2, T=8 2N=0 N=5
Soit 4 possibilités pour {T,E,N,Y}= {1,2,4,6}, {1,2,9,6}, {3,4,8,2}, {8,9,5,2}
effectuons la preuve par 9 de cette opération
O+4N+3E+2I+2F+3T+2Y+W=E+I+G+H+T+Y modulo 9
soit O+4N+2E+I+2F+2T+W+Y=G+H modulo 9
et comme les 10 chiffres sont utilisés, O+N+E+I+F+T+Y+W+G+H=45=0 modulo 9 et
3N+E+F+T=2G+2H modulo 9 soit F=2(G+H)-3N-E-T modulo 9
La encore se résoud par la force brute, pour chaque quadruplet {T,E,N,Y}.
Les choix de G et H parmi les 6 valeurs restantes donnent 30 couples G,H. La valeur de G+H permet de calculer F, en ne retenant que les cas avec F≠T,E,N,Y,G,H.
Reste à affecter les 3 chiffres restant à O, W et I pour satisfaire O+I et W-I de l'opération.
Un programme donne la solution unique : E=4 T=3 Y=2 N=8 G=0 H=1 F=7 O=9 I=5 W=6

plus

onze (1)

  abc
  DEUX
+ NEUF
= ONZE

DEUX multiple de 2 : X pair
NEUF multiple de 9 : N+E+U+F=0 modulo 9 et <9+8+7+6=30 N+E+U+F=9, 18, 27.
ONZE multiple de 11 O+Z-N-E=0 modulo 11 de -16 à +16 soit -11, 0, +11. (O+Z=N+E ou O+Z=N+E+11 ou O+Z+11=N+E) Z=2U+c modulo 10 N=2E+b modulo 10
Le choix de X et F donne E. Le choix de U donne Z puis N , puis O puis D
Un programme donne la solution unique : DEUX=2304 NEUF=6309 ONZE=8613.
Sur les 122 solutions sans contraintes
64 ont DEUX multiple de 2
16 ont NEUF multiple de 9
8 ont ONZE multiple de 11

Nota :
D'autres cryptarithmes et un programme de résolution en ligne ici (Nicolas Graner) ou là (R. B. Israel)