La clôture - solution

Deux frères veulent partager un champ triangulaire avec la clôture la plus courte possible. Les dimensions du champ sont données x,y,z.
Soit le champ ABC, une droite (la clôture) coupe AB en M et AC en N.
AM.AN.sin(A)/2 = S/2 = AB.AC.sin(A)/4. soit AM.AN = AB.AC/2
L'enveloppe des droites MN est une hyperbole d'asymptotes AB et AC.
Sa longueur est minimale quand elle est perpendiculaire en H à l'axe de l'hyperbole qui est la bissectrice de l'angle A.
On a alors AM = AN et donc AM² = AN² = AB.AC/2

D'où une construction géométrique possible : tracer le cercle de diametre AB,
K sur AB avec AK=AC/2, la perpendiculaire en K à AB coupe le cercle en P, AM = AN = AP.

L'aire du morceau triangulaire est aussi AH.MN/2 = S/2, et de même pour chacune des 3 constructions équivalentes avec les angles A, B ou C.
La longueur MN sera minimum quand AH sera maximum et donc l'angle minimum.
Il faut donc choisir pour faire la construction l'angle le plus petit des trois.
Il est opposé au côté le plus petit.

Appelons par convention A cet angle, de mesure 2α<π/2. Les côtés AB = x, AC = y, BC = z, z ≤ y ≤ x
On a cos(2α) = (x² + y² - z²)/2xy = 1 - 2 sin²(α) = 1 - 2 (MH/AM)²
et comme d = MN = 2MH et AM² = xy/2 :
(x² + y² - z²)/2xy = 1 - d²/xy soit finalement :

d² = (z² - (x-y)²)/2

avec les cotés 210, 250, 320 le plus petit côté est z = 210 et d² = (210² - 70²)/2 = 19600 soit d = 140
a² = 250×320/2 = 40000 et les extrémités sont à a = 200.

Construction d'énoncés entiers

On cherche des valeurs entières pour x, y, z, d ainsi que a avec a² = AM² = xy/2.
Posons x - y = u : 2d² = z² - u² = (z + u)(z - u)
On peut alors poser z + u = 2mr², z - u = ms² avec m sans facteur carré, ou bien z + u = mr², z - u = 2ms²
Cela donne dans le premier cas z = m(2r² + s²)/2, u = m(2r² - s²)/2 et dans le second :
z = m(r² + 2s²)/2, u = m(r² - 2s²)/2
Ces formules sont équivalentes en échangeant r et s et écrites sous la forme :
u = m|r² - 2s²|/2
m ou r est donc pair. Mais m,2r,s donne exactement les mêmes valeurs que 2m,s,r.
On peut donc imposer m pair, r impair, PGCD(r,s) = 1, et en remplaçant m par 2m :

z = m(r² + 2s²)  u = m|r² - 2s²|  d = 2mrs  r impair, PGCD(r,s) = 1  m = 1 pour des triangles primitifs

Si on ne s'intéresse pas à a entier, on peut en rester là et choisir x et y quelconques avec x - y = u
Par exemple m = 1, r = 1 s = 1, z = 3, u = 1, d = 2.
On peut alors choisir y = 4, x = 5, a = √10 (mais alors le triangle est rectangle !) ou y = 5, x = 6, a = √15 etc...

Cherchons maintenant à avoir a aussi entier.
Posons v = x + y. Alors v² = u² + 4xy = u² + 8a² soit
2×(2a)² = v² - u², équation du même type que précédement dont les solutions sont :

v = k(t² + 2w²)/2
u = k|t² - 2w²|/2
a = ktw/2
On peut là encore imposer k pair t impair et donc (en changeant k en 2k) :

v = k(t² + 2w²)   u = k|t² - 2w²|   a = ktw, t impair

x = (u + v)/2 = kt² ou 2kw² et y = 2kw² ou kt² selon le signe de t² - 2w².
Dans les deux cas on min(kt², 2kw²) > z

Fixons donc arbitrairement r,s. Par exemple r = 1 s = 1. Donc z = 3, u = 1, d = 2.
k|t² - 2w²| = u = 1 donne t² - 2w² = ±1 et k = 1.
Ceci est une équation de Pell qui admet les solutions (1,1) (3,2) (7,5)...
Le critère min(kt², 2kw²) > z = 3 élimine la solutions (1,1) et donc reste t=3, w=2
Le plus petit triangle entier satisfaisant au problème est :

x = 9, y = 8, z = 3 pour ce triangle a = 6, d = 2.

Si on veut un triangle moins "pointu", il faut choisir r,s plus grand, mais le résultat sera des valeurs "exotiques"...
On peut aussi prendre m > 1 pour le premier triangle, mais il faut choisir k premier avec m si on veut obtenir une solution primitive
Par exemple m = 7, r = 1, s = 1, z = 21, u = 7, d = 14
t² - 2w² = ±7/k donc k = 1 (premier avec m = 7, donc pas 7)
t² - 2w² = ±7 a pour solutions (-1,2) (3,1) (5,4) (13,9)...
et les plus petites valeurs :

x = 32, y = 25, z = 21 avec a = 20, d = 14