ZigZag - solution

L'angle inscrit ABC de 45° et donc l'angle au centre AMC = 90°
De même CME = 90° et donc AME alignés sur un diamètre.
De même BMD = 90° et le triangle BMD est la moitié du triangle ACE.
Les angles B et C étant égaux, AB // CD
Le triangle ABC a donc même aire que ABD.
Et de même les triangles CDE et BDE ont même aire.
Considérons les triangles BDA, BDM et BDE, de même base BD
Comme M est le milieu de AE, la hauteur de BDM est la moyenne des hauteurs de BDA et BDE.
Aire(BDA) + Aire(BDE) = 2×Aire(BDM), soit Aire(ABC) + Aire(CDE) = Aire(ACE)
En ajoutant les deux segments de cercles, on obtient le demi cercle ACE.

L'aire de la zone découpée est la moitié du cercle

Angle de 30°

Les angles AMC, CME et EMG valent donc 60°, AMG alignés sur un diamètre. De même BMD et DMF valent 60°
AC = CE = EG = R
Soit t = <)FMG et calculons les hauteurs des trois triangles en fonction de t.
FG = 2R.sin(t/2), l'angle FGH = 180° - FGM - MGE = 30° + t/2, et FH = 2R.sin(t/2).sin(30° + t/2) = R.sin(60°) - R.sin(60° - t)
DMG = 60° + t, la hauteur de D est donc R.sin(60°) + R.sin(60° + t)
Enfin la hauteur de B est calculée comme celle de F, en remplaçant t par 60° - t soit : R.sin(60°) - R.sin(t)
La surface des trois triangles est donc S = 3R²sin(60°)/2 + R²sin(60° + t)/2 - R²sin(60° - t)/2 - R²sin(t)/2, et comme sin(60° + t) - sin(60° - t) = 2.cos(60°)sin(t) = sin(t),  S = 3R²sin(60°)/2  c'est à dire la surface du demi-hexagone ACEG.

En ajoutant les 3 segments de cercle, on obtient la moitié du cercle.