Inscrits et circonscrits - solution

Nous allons tout d'abord caractériser les quadrilatères circonscrits.
Soient MNPQ les points de contact. AM = AQ = a etc... donc : AB + CD = BC + AD = (a + b + c + d)

Notre problème devient donc :
trouver D sur le cercle tel que AB + CD = BC + AD.

Sans perte de généralité nous supposerons AB > BC
Traçons le cercle de centre A et de rayon AB - BC
Soit I le milieu de l'arc ABC.
Le cercle de centre I passant par A et C coupe le cercle de centre A en P
La médiatrice de PC coupe le cercle (Γ ) en D qui est le point cherché.
IP = IC donc I est sur cette médiatrice et ID est aussi la bissectrice de ADC.
DP = DC donc la médiatrice ID de PC est bissectrice de PDC.
Les droites DA et DP sont donc confondues et AB + CD = (AP+BC) + PD = AD + BC.

Soit J le milieu de l'arc ADC. Le centre K du cercle inscrit dans ABCD est l'intersection de ID et BJ, bissectrices de ADC et ABC.

Remarque : AB + CD = BC + AD s'écrit AD - CD = AB - BC.
Le lieu de tous les points D du plan pour lesquels ABCD est circonscriptible est donc une hyperbole de foyers A et C avec DA - DC = cte.
L'intersection de cette hyperbole avec (Γ ) donne le point D cherché.
La tangente en D à cette hyperbole est la bissectrice des rayons vecteurs DA et DC soit DI.
La construction ci-dessus est en fait la construction de la tangente à l'hyperbole issue de I.