Equilibres
Un tableau accroché au mur par une ficelle est-il toujours droit ?
Plaçons nous dans un référentiel lié au tableau.
Le clou C décrit alors une ellipse CF + CF' = 2a.
Le tableau est en équilibre si la verticale issue du centre de
gravité G est normale à cette ellipse.
Cet équilibre sera stable si la distance CG est maximale.
Cela veut dire si le rayon de courbure en C de l'ellipse est < CG.
L'enveloppe des normales à l'ellipse (C), qui est aussi le lieu
des centres de courbures, est une astroïde déformée (tétracuspide).
Les positions d'équilibre sont les tangentes issues de G à cette astroïde.
Selon la position de G, il peut ainsi y avoir plusieurs positions d'équilibre, stables ou non.
G1 : une seule position C1, stable.
G2 : une seule position d'équilibre C2, stable
G3 : 3 positions d'équilibre C3, C'3 et C"3. C'3 est instable :
le tableau ne peut pas être droit, bien que le centre de gravité soit sur l'axe de symétrie !
| La position est instable si G est entre C et le centre de courbure K
La position est toujours stable si G est extérieur à l'astroïde et au dessous de la ligne FF'. Si G est au dessus de la ligne FF', la position est forcément instable. |
Le point cyan (sur le cercle principal) déplace le clou.
Tableau rectangulaire
On se place maintenant dans le cas relativement courant d'un tableau rectangulaire, pour lequel le centre de gravité est au centre du tableau.En plaçant les fixations F F' symétriquement. Donc G sur la médiatrice de FF'.
On souhaite ici avoir le clou caché sous le tableau.
Calculons le critère ci-dessus.
Soit 2a le grand axe de l'ellipse, 2b le petit axe et 2c la distance focale FF'.
Rappelons que b² = a² - c² et que 2a est la longueur de la ficelle.
L'équation de l'astroïde est (détail) :
| x = c²/a cos³t
y = c²/b sin³t |
La pointe de l'astroïde (t = -π/2) est à y = -c²/b
La condition de stabilité, G sur le petit axe, peut donc s'écrire h > c²/b
En appelant B le sommet de l'ellipse, géométriquement la pointe de l'astroïde K est l'intersection du petit axe (médiatrice de FF') et de la perpendiculaire en F à FB (OB.OK = OF²).
La condition d'équilibre est alors L'angle BFG > 90°
Ou encore F et F' sont dans le disque de diamètre BG
Si cette condition n'est pas remplie, le tableau ne peut être mis d'applomb : la position d'équilibre stable est inclinée.
Si le clou peut être apparent, B est au dessus du tableau et le critère est moins restrictif (le disque est plus grand).On notera tout de même que ce critère n'est pas intuitivement évident : on a l'habitude d'écarter d'avantage les fixations F et F', ce qui explique pourquoi les tableaux ne sont jamais droits ! Dans la pratique, un tableau déséquilibré (position stable de travers) est mis d'aplomb grâce aux frottements.
