Equilibres

Le cube flottant.

Dans le cas plus général : un parallélépipède. Mais nous considérerons ici essentiellement le cas d'un cube.
Tout d'abord une remarque (théorème d'Archimède) : le volume immergé est constant, et donc aussi le volume émergé.
Si d est la densité du cube, le volume immergé est d×V (d < 1) et le volume émergé (1 - d)×V.

Intéressons nous d'abord à une vue "2D", en coupe, dans un repère lié au cube.
C'est à dire le cas où une arête est de façon imposée parallèle à la surface de l'eau.

Il faut étudier divers cas de figure, selon les arêtes qui plongent dans l'eau. Lorsque l'inclinaison du cube varie, la position du centre de poussée P (centre de gravité du volume immergé) varie et dans un repère lié au cube décrit une courbe. Pour toute position, la tangente en P est parallèle à la surface de l'eau, et donc la normale verticale.
Les positions d'équilibre sont alors définies par les normales à cette courbe issues du centre de gravité G.
Selon le rayon de courbure R en ces points, l'équilibre est stable ou non :
Si GP < R, l'équilibre est stable, sinon l'équilibre est instable.
On peut aussi dire que (puisque le centre de poussée est toujours ici au dessous du centre de gravité) que les positions d'équilibre stable sont les minimas de la distance de G au centre de poussée. Les maximas étant des positions d'équilibre instable.

  1. Fichier Geogebra Arètes opposées
    Alors, volume immergé = constant se traduit par AU + BV = constant, et donc le milieu de UV est un point fixe I. (Dans l'applet U est draggable, I draggable définit la densité.)

    Etudions de plus près le lieu du centre de poussée dans ce cas.
    Il n'est pas ici vraiment plus difficile de considérer le cas d'un parallélépipède, soit en coupe un rectangle de côtés a = 1, b (dans l'applet C est draggable et définit a,b).
    Dans un repère centré au fond du parallélépipède en O, son centre de gravité G à pour coordonnées {0, b/2}
    Les coordonnées de I sont {0, bd}
    Celles de U = {-1/2, bd-u} et de V {1/2, bd+u}, avec u = UH = KV.
    Le centre de gravité du volume immergé est obtenu en ajoutant/retranchant les volumes des deux prismes de section IHU et IKV au parallélépipède de section AHKB.
    Dans le plan de coupe les centres de gravité de ces prismes sont G1 = {-1/3, bd - u/3} et G2 = {2/3, bd + u/3} L'aire de leur section est S1 = S2 = u/4
    AHKB a pour aire S0 = bd, et pour centre de gravité G0 = {0, bd/2}
    Le centre de poussée est donc P = (G0.S0 - G1.S1 + G2.S2)/(S0 - S1 + S2) soit de coordonnées {au/(6bd), bd + u²/(12bd)}
    Le lieu de P est donc une parabole d'axe vertical (en éliminant u, y = Ax² + B).
    L'applet trace le lieu du centre de courbure W (courbe de Neil, ou parabole semi-cubique).
    Les positions d'équilibre sont les tangentes de G à cette courbe.
    L'équilibre est stable si G est entre P et W.
    Si G est "à l'extérieur", la seule position envisageable est donc P au sommet.
    Si G est "à l'intérieur", la position P au sommet est instable.
    Il y a alors 2 autres positions, stables, obtenues en traçant les normales à la parabole issues de G.

    Zoom sur ces points :

    L'applet construit le foyer et la directrice de cette parabole (en orange), puis les normales à la parabole issues de G en utilisant la propriété : la sous-normale (projection de la normale sur l'axe) est égale au paramètre, ce qui donne les points cherchés sur une parallèle à la directrice.
    Les positions stables s'il y en a sont en mauve. Sinon cette configuration est instable.

    Les positions d'équilibre sont les extrémas de PG. Tous calculs faits cela donne u solution de u(2u² - 6b²d(1 - d) + 1) = 0
    u = 0 est évidemment une position d'équilibre. Si c'est la seule elle est stable car c'est un minimum de PG. Sinon c'est un maximum local et elle est instable, les deux autres sont stables. Elles existent donc si 6b²d² - 6b²d + 1 < 0 C'est à dire si d est entre les racines de cette équation.
    Celles-ci existent si Δ' = 3b²(3b² - 2) > 0 c'est à dire si b > 2/3 = 0.81649658...
    Un parallélépipède "plat" (b ≪ 1) ne flotte donc jamais de travers.

    Revenons au cube (b = 1). Alors les deux racines pour d sont d = (3 ± √3)/6 = 0.211325... et 0.788675...
    Le cube flotte "à plat" si d > 0.788675 ou d < 0.211325. En particulier un glaçon (d = 0.9) et un cube de balsa (d ≈ 0.14) flottent à plat.
    Si on n'a pas un cube, bien sûr ces valeurs sont à recalculer.
    Un morceau de banquise (b ≪ 1) flotte toujours bien à plat. Un iceberg avec b > 1.36 flotte de travers. Et bascule si b > 1.38675...

    Maintenant, si d est entre ces valeurs la position à plat est instable, mais les deux valeurs obtenues pour u ne sont valables que si le niveau de la surface de l'eau n'atteint ni la face supérieure ni la face inférieure. C'est à dire si d<1/2 et u<bd ou d>1/2 et u<b(1 - d), soit en remplaçant la valeur de u, les inéquations :
    d<1/2, 8b²d² - 6b²d + 1 > 0
    ou d>1/2, 8b²d² - 10b²d + 2b² + 1 > 0
    On remarque que le remplacement de d par 1-d montre que cette condition est symétrique par rapport à d = 0.5, échangeant les deux inéquations ci-dessus.
    Cette condition est toujours satisfaite si b < 2√2/3 ≈ 0.9428... (soit 0.8165 < b < 0.9428 car les valeurs inférieures de b n'ont pas d'équilibre incliné).
    Dans le cas du cube (b = 1) la condition s'écrit d < 1/4 ou d > 3/4

    d > 0.788675 le cube flotte à plat
    0.75 < d < 0.788675 le cube flotte incliné
    0.25 < d < 0.75 autre cas
    0.211325 < d < 0.25 le cube flotte incliné
    d < 0.211325 le cube flotte à plat

    On peut résumer les différents domaines de stabilité de cette position en fonction de d et b par les inégalités précédentes.

    Pour le cube (b=1), lorsque 1/4 < d < 3/4, les positions d'équilibre inclinées le sont tellement que le cube bascule dans une autre position :

  2. Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Arêtes adjacentes
    Etudions le cas d < 1/2, c'est à dire le coin AUV immergé. On a alors volume = constant : AU.AV = constant = 2bd
    L'enveloppe de UV est donc un arc d'hyperbole équilatère. C'est le lieu du milieu de UV.
    Le centre de gravité P de AUV décrit donc un arc d'hyperbole homothétique de centre A dans le rapport 2/3.
    Prenons pour origine A, et posons AU = mt, AV = m/t avec m² = 2bd. P a pour coordonnées {m/(3t), mt/3} et G = {1/2, b/2}
    36 PG² = (2m/t - 3)² + (2mt - 3b)² sera extrémal si 2mt4 - 3bt3 + 3t - 2m = 0 Equation du 4ème degré pas sympathique dans le cas général.
    Limitons nous donc au cube (b = 1), ce qui factorise t² - 1
    Les extrémas seront donc donnés par (t² - 1)(2mt² - 3t + 2m) = 0 t = 1 est un extrémum (inclinaison à 45°) qui comme pour la parabole sera stable s'il est le seul et instable si 2mt² - 3t + 2m = 0 a des solutions. C'est à dire si 9 - 16m² > 0 ou encore m² = 2d < 9/16 soit d < 9/32 = 0.28125
    La condition pour cette configuration étant AU < AD, AV < AB soit m < t < b/m, Les limites seront, pour b = 1, d > 1/4.
    Ainsi :

    Si 0.25 < d < 0.28125 : coin incliné
    Si 0.28125 < d < 0.5 : à 45°

    d < 0.25 étant le cas vu précédemment.

    Dans le cas où d > 0.5, le coin DUV est émergé.
    Le centre de gravité G1 de DUV décrit comme ci dessus une hyperbole. Le centre de gravité P de la partie immergée, puisque G est le barycentre de P(d) et G1(1-d), est donc le barycentre de G(1) et G1(d-1), (d-1 < 0).
    P parcourt donc une hyperbole, homothétique du lieu de G1 dans l'homothétie de centre G et de rapport (d-1)/d. GP est donc extrémal quand GG1 est extrémal, donnant les mêmes équations et conclusions que précédemment, mais avec m² = 2b(1 - d) au lieu de m² = 2bd les limites sont donc d = 3/4 = 0.75 et d = 23/32 = 0.71875

    Si 0.71875 < d < 0.75 : coin incliné
    Si 0.5 < d < 0.71875 : à 45°

    d > 0.75 étant le cas vu précédemment.

    On notera que la position à 45° est stable pour d = 0.5, considérée aussi bien comme ce cas d'un coin immergé que comme cas limite de face émergée (le point de rebroussement de la courbe du paragraphe précédent).

La conclusion finale en 2D (en coupe) est donc

d > (3 + √3)/6 = 0.788675... cube horizontal
0.75 < d < 0.788675 cube "de travers", face supérieure émergée
0.71875 < d < 0.75 cube "de travers", face supérieure mouillée
9/32 = 0.28125 < d < 23/32 = 0.71875 cube à 45°
0.25 < d < 9/32 = 0.28125 cube "de travers", face inférieure sortant de l'eau
0.211325 < d < 0.25 cube "de travers", face inférieure immergée
d < (3 - √3)/6 = 0.211325... cube horizontal

En 3D Mais notre cube n'est pas seulement un carré en coupe !

 

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