Rapports

Etant donné un triangle ABC, trouver un point M à distances MA,MB,MC proportionnelles à x,y,z

C'est à dire MA/x = MB/y = MC/z
Le lieu des points avec MB/y = MC/z est un cercle de diamètre IJ, où I et J divisent le segment BC dans le rapport IB/IC = JB/JC = y/z
Ces points I et J peuvent être construits ainsi :
Reporter BY = y et CZ = z parallèles, de direction quelconque, ainsi que CZ' = -CZ. BC coupe YZ' en I et YZ en J.

On recommence avec les cercles lieux de MA/x = MB/y et MA/x = MC/z
Puisque MA/MC = (MA/MB) / (MC/MB), si un point est commun aux lieux MA/x = MB/y et MB/y = MC/z, il appartient au lieu de MA/x = MC/z.
Les points communs aux cercles s'il y a le sont aux trois cercles.
Nota : on en déduit que ces trois cercles font partie d'un faisceau de cercles, et que leurs centres sont alignés.
Selon les données ABC, x:y:z il y a 0, 1 ou 2 points communs, solutions du problème.

Note : si un des rapports est 1:1, le 'cercle' est en fait la médiatrice du segment, considérée comme 'cercle' de rayon infini.
L'applet ne gère pas ce cas, et donne un résultat imprécis si un rapport est ≈ 1.

Il y a au plus un des deux points à l'intérieur du triangle. Ils peuvent être tous deux extérieurs
Considérant les conditions aux limites où M est sur un côté du triangle, la région où doit se trouver A est limitée par des cercles homothétiques du cercle de diamètre IJ :
Homothétique de centre C dans le rapport CA/CM = (x+z)/z, M sur le côté AC
et homothétique de centre B dans le rapport BA/BM = (x+y)/y, M sur le côté AB
Enfin M sur le côté BC, en I, donne IA/x = BC/(y+z), soit le cercle de centre I tangent aux deux autres.
A doit donc être "entre" ces cercles, dans la région en forme d'arbelos, pour que M soit dans le triangle.
Si A est en dehors de l'arbelos, soit il n'y a pas de solution du tout, soit elles sont toutes deux en dehors du triangle.