Deux rectangles

Placer deux rectangles égaux dans un carré.

La diagonale MP, égale à la diagonale AF lui est donc parallèle.
MNPQ est donc égal à ABFE tourné de 2θ
L'angle FNQ est donc égal à 3θ
On en tire, en appelant d la diagonale
BF = d sin(θ)
FC = d sin(3θ)
AB = d cos(θ)
et donc l'équation en θ
d cos(θ) = d sin(θ) + d sin(3θ) soit cos(θ) = sin(θ) + sin(3θ)
La formule sin(p) + sin(q) appliquée au second membre donne alors
cos(θ) = 2 sin(2θ)cos(θ) soit sin(2θ) = 1/2 et donc  θ = 15° 

La construction des deux rectangles est alors facile, et laissée au lecteur.

Nota : EK // et égal à NQ, donc BEK est équilatéral.
Q est le milieu de CK

Dans un rectangle

Fichier Geogebra Si ABCD est un rectangle, le raisonnement ci-dessus est encore valable :
<)BAE = θ, <)ENQ = 3θ
En posant a = AB, b = BC et d = AE d cos(θ) = a et d sin(θ) + d sin(3θ) = b donne finalement

 sin(2θ) = b/(2a) 

D'où la construction :
Le cercle de diamètre AB et le cercle de centre B de rayon BC/2 = b/2 se coupent en K.
Sin(BAK) = BK/AB = (b/2) / a donne BAK = 2θ et donc AE bissectrice de BAK.
La suite s'en déduit facilement :
Soit O le centre du rectangle restant EFDC.
MP est la parallèle en O à AE.
NQ est la parallèle en O à la droite d'angle 3θ avec AB (la symétrique de AE par rapport à AK).

Bien entendu sin(2θ) ≤ 1 et donc  b ≤ 2a 

 

Accueil Arithmétiques Géométrique Divers Thèmes Scripts Jeux Exercices Sujet précédent Sujet suivant Parent