Nombres premiers de Fermat

Ce sont les nombres premiers de la forme Fn = 2n+1
Toutes les valeurs de n ne donnent pas des nombres premiers, par exemple 23+1 = 9 n'est visiblement pas premier.
n doit être une puissance de 2, mais ce n'est pas suffisant : 232+1 = 4294967297 est divisible par 641

Fn=3, 5, 17, 257, 65537, ...
On ne connait que ces 5 nombres de Fermat et on ignore s'il en existe d'autres.

Les nombres premiers de Fermat sont liés à la possibilité de construire à la règle et au compas un polygone régulier à N côtés. Plus précisément un polygone régulier est constructible si et seulement si son nombre de côté est
2a p1p2p3...pn où les pi sont des nombres premiers de Fermat distincts (théorème de Gauss).
Ainsi sont constructibles les polygones à 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20... côtés
Les polygones à 7,9,11,13,14,18,19... côtés ne le sont pas.

Une curiosité :

2n+1 est premier pour n = 1, 2, 4, 8, 16
La puissance de 2 suivante (32) ne donne pas un nombre premier comme on l'a déja vu. Mais...

 3×5×17×257×65537 = 232 - 1 

étrange n'est-il pas ...

 

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