Nombres premiers de Fermat

Ce sont les nombres premiers de la forme F_n = 2ⁿ+1
Toutes les valeurs de n ne donnent pas des nombres premiers, par exemple 2³+1 = 9 n'est visiblement pas premier.
n doit être une puissance de 2, mais ce n'est pas suffisant : 2³²+1 = 4294967297 est divisible par 641

F_n=3, 5, 17, 257, 65537, ...
On ne connait que ces 5 nombres de Fermat et on ignore s'il en existe d'autres.

Les nombres premiers de Fermat sont liés à la possibilité de construire à la règle et au compas un polygone régulier à N côtés. Plus précisément un polygone régulier est constructible si et seulement si son nombre de côté est
2^a p₁p₂p₃...p_n où les p_i sont des nombres premiers de Fermat distincts (théorème de Gauss).
Ainsi sont constructibles les polygones à 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20... côtés
Les polygones à 7,9,11,13,14,18,19... côtés ne le sont pas.

Une curiosité :

2ⁿ+1 est premier pour n = 1, 2, 4, 8, 16
La puissance de 2 suivante (32) ne donne pas un nombre premier comme on l'a déja vu. Mais...

 3×5×17×257×65537 = 2³² - 1 

étrange n'est-il pas ...