Obsolete (plus d'applets Java)

Cercles - suite

Pole - polaire

Il existe de nombreuses constructions géométriques de la polaire.
Il faut que la construction choisie ne dépende pas de conditions, telle P intérieur ou extérieur au cercle donnant deux constructions différentes.
Les cas où des points à l'infini risquent d'être obtenus doivent être évités.

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Le plus simple et le plus efficace est ainsi de construire le point conjugué sur le rayon OP, et même par calcul :

{ polaire de P }
{op} Line (O,P)[hidden];
{A} Intersect1 (op,C)[hidden];
{k} Ratio/Points (O,A,P,0,0,' ')[hidden];
{s} Calculate (0,0,' ','1A/')(k)[hidden];
{H} Dilation/MarkedRatio (A,O,s)[hidden];
{polar} Perpendicular (op,H);

{ pôle de d }
{op} Perpendicular (d,O)[hidden];
{A} Intersect1 (op,C)[hidden];
{H} Intersect (op,d)[hidden];
{k} Ratio/Points (O,A,H,0,0,' ')[hidden];
{s} Calculate (0,0,' ','1A/')(k)[hidden];
{P} Dilation/MarkedRatio (A,O,s);

Ces constructions n'échouent que si le pole ou la polaire sont à l'infini. (polaire du centre, ou pôle d'un diamètre)

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Mentionnons la construction "à la règle seule" de la polaire de P.
On choisit deux points A et A' sur le cercle et les sécantes PAB et PA'B' donnent les points I et J, intersection AB'∩A'B et AA'∩BB'.
Mais tout le problème réside dans le choix de A et A', et même la construction échoue si P sur le cercle (car P=B=B' et la droite BB' est indéfinie dans l'applet, même si mathématiquement ce serait la tangente en P).

De même le pole d'une droite s'obtient en choisissant deux points quelconques sur la droite et en construisant les polaires de ces points.

Ces constructions ne sont pas recommandées (plus compliquées et risque d'échec)

Inversion

L'inversion est souvent utilisée pour "simplifier" une figure/construction, en transformant des cercles à priori quelconques en cercles égaux, concentriques, ou en droites. La construction de l'inverse d'objets dans ce cas dépend alors de la façon dont l'inversion est définie.

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Considérons ainsi une inversion de puissance positive par rapport à un cercle donné (la seule considérée par les anglosaxons) c'est à dire OM.OM' = R²
On remarque immédiatement que l'inverse est ... le pied de la polaire de M ! C'est ainsi que cette inversion est même parfois définie. (alors que son nom même est : OM' = k/OM).
Les constructions précédentes peuvent alors être immédiatement appliquées, et inversement (!), construire l'inverse de M permet de construire la polaire de M.

{om} Line (O,M)[hidden];
{A} Intersect1 (om,C)[hidden];
{k} Ratio/Points (O,A,M,0,0,' ')[hidden];
{s} Calculate (0,0,' ','1A/')(k)[hidden];
{M!} Dilation/MarkedRatio (A,O,s);

Une inversion de puissance négative est obtenue en changeant de signe dans le Calculate

Inverse d'un cercle
Le centre du cercle inverse de (C) est l'inverse de l'inverse du pôle par rapport au cercle C.
(L'inverse du pied de la polaire de O par rapport à (C))

Si d est la distance des centres, cela donne d' = d×R²/(d² - r²)
Le rayon r' est donné par r' = r×R²/(d² - r²) (formule déduite immédiatement de A'B' = AB × R²/(OA.OB))

{r} Radius (Kc,0,0,' ')[hidden];
{R} Radius (K,0,0,' ')[hidden];
{d} Distance (O,C,0,0,' ')[color(0,180,0)];
{t} Calculate (0,0,' ','AA*BB*CC*-/')(R,d,r)[hidden];
{C!} Dilation/MarkedRatio (C,O,t)[label('C'''),red];
{r1} Dilation/MarkedRatio (r§,C,t)[yellow,label('r1')];
{r!} VectorTranslation (r1,C,C!)[yellow,label('r''')];
{Kc!} Circle (C!,r!)[red];

Un Dilation direct du cercle (C) ne fonctionne pas si le ratio est < 0.
On est donc obligé de passer par un Dilation d'un point quelconque r§ du cercle (C), ici celui qui sert à définir (C).

(applet partagée ci-dessus)

Cercle et droite inverses l'un de l'autre

En dehors de spécificités liées au choix particulier de l'inversion utilisée, la construction de l'inverse d'une droite et la construction de l'inverse d'un cercle passant par le pôle sont assez simples : Il suffit d'inverser le pied de la perpendiculaire à la droite, ou le point diamétralement opposé au pole.

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{ inverse d'une droite }
{oh} Perpendicular (d,O)[hidden];
{H} Intersect (oh,d)[hidden];
{A} Intersect1 (oh,C)[hidden];
{k} Ratio/Points (O,A,H,0,0,' ')[hidden];
{s} Calculate (0,0,' ','0.5A/')(k)[hidden];
{O!} Dilation/MarkedRatio (A,O,s);
{K} Circle (O!,O);

{ inverse du cercle (w,O) }
{oh} Line (O,w)[hidden];
{A} Intersect1 (oh,C)[hidden];
{k} Ratio/Points (O,A,w,0,0,' ')[hidden];
{s} Calculate (0,0,' ','0.5A/')(k)[hidden];
{H} Dilation/MarkedRatio (A,O,s)[hidden];
{line} Perpendicular (oh,H);

Le facteur 0.5 entre le diamètre et le centre du cercle est inclus dans le Calculate donnant ainsi directement le centre. De même pour l'inversion cercle → droite.

Axe radical - centre radical

Là aussi les constructions traditionnelles ne sont pas l'idéal.
Bien sûr l'axe radical de deux cercles sécants est immédiatement construit comme passant par les points d'intersection. Si les cercles ne se coupent pas la méthode classique consiste à tracer un 3ème cercle quelconque coupant les deux cercles données et de construire le centre radical.
Le problème est justement le choix de ce cercle ! On peut par exemple choisir un cercle passant par deux points donnés des cercles, en espérant qu'il ne soit pas tangent, ou passant par les deux centres et centré à distance r1+r2+d de ceux-ci. Un tel cercle est alors garanti sécant aux deux cercles donnés.

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{ médiatrice de O1O2 }
{oo} Line (O1,O2)[hidden];
{M} Dilation (O1,O2, 0.5)[hidden];
{med} Perpendicular (oo,M)[hidden];

{ cercle (W) de rayon O2R 'suffisant' }
{R1} Intersect1 (oo,C1)[hidden];
{R2} Intersect1 (oo,C2)[hidden];
{R!} VectorTranslation (R1,O1,R2)[hidden];
{R} VectorTranslation (R!,O1,O2)[hidden];
{Kr} Circle (O2,R)[hidden];
{w} Intersect1 (med,Kr)[hidden];
{W} Circle (w,O1)[hidden];

{ axe radical de C1 et (W) }
{A1} Intersect1 (W,C1)[hidden];
{B1} Intersect2 (W,C1)[hidden];
{ab1} Line (A1,B1)[hidden];

{ axe radical de C2 et (W) }
{A2} Intersect1 (W,C2)[hidden];
{B2} Intersect2 (W,C2)[hidden];
{ab2} Line (A2,B2)[hidden];

{ centre radical de C1, C2 et (W) }
{I} Intersect (ab1,ab2)[hidden];

{axe} Perpendicular (oo,I);

Cette construction échoue si l'un des cercles est un cercle-point (de rayon nul).

Le mieux est encore d'obtenir l'axe radical par calcul.
Soit à partir de 2 OO'.IH = R² - R'², en appelant I le milieu de OO', ou encore IH/IO' = (R² - R'²)/d²

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{oo} Line (O,O!)[hidden];
{r} Radius (C,0,0,' ')[hidden];
{r!} Radius (C!,0,0,' ')[hidden];
{d} Distance (O,O!,0,0,' ')[hidden];
{k} Calculate (0,0,' ','AA*BB*-CC*/')(r,r!,d)[hidden];
{I} Dilation (O,O!, 0.5)[hidden];
{H} Dilation/MarkedRatio (O!,I,k)[hidden];
{axe} Perpendicular (oo,H);

Le centre radical de trois cercles est obtenu en répétant cette construction, comme intersection des axes radicaux.