{M} Dilation (B,C,0.5)[hidden]; {G} Dilation (A,M,0.33333333333333333); {ah} Perpendicular (BC,A)[hidden]; {bh} Perpendicular (AC,B)[hidden]; {H} Intersect (ah,bh); {O} Dilation (G,H,1.5); {circ} Circle (O,A); { droite et cercle d'Euler } {droite} Line (G,H); {w} Dilation (O,H,0.5)[hidden]; {cercle} Circle (w,M); |
La relation GH = -2GO et ses dérivées permet de construire le 3ème point de O, G, H si on a déja construit les 2 autres. Ici O est construit à partir de G,H, on pourait aussi bien construire H à partir de O,G. Ici cela voudrait dire construire un milieu supplémentaire (pour construire O directement il faut 2 médiatrices).
{ bissectrices } {C!} Rotation/MarkedAngle (C,A,C,A,B)[hidden]; {iA} Dilation (C,C!, 0.5)[hidden]; {Ai} Ray (iA,A)[hidden]; {Aj} Perpendicular (Ai,A)[hidden]; {A!} Rotation/MarkedAngle (A,C,A,C,B)[hidden]; {iC} Dilation (A,A!, 0.5)[hidden]; {Ci} Ray (iC,C)[hidden]; {Cj} Perpendicular (Ci,C)[hidden]; {I} Intersect (Ai,Ci); {Bi} Ray (I,B)[hidden]; {Bj} Perpendicular (Bi,B)[hidden]; { point de contact et cercle inscrit } {X!} Reflection (I,bc)[hidden]; {X} Dilation (I,X!,0.5)[hidden]; {Ki} Circle (I,X); { point de contact et cercle exinscrit } {Xa} VectorTranslation (C,X,B)[hidden]; {Ja} Intersect (Ai,Bj); {Ka} Circle (Ja,Xa); { ... idem pour les deux autres } |
Le point de Spieker S est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian, cercle de Spieker.
C'est ainsi le centre de gravité du triangle en fil de fer (centre de gravité des côtés du triangle).
Le cercle de Spieker est bien entendu l'homothétique du cercle inscrit,
dans l'homothétie de centre G et de rapport -1/2.
Les points de contact du cercle de Spieker sont les intersections des côtés du triangle médian avec les céviennes de N.
La droite IGSNa est appelée la droite de Nagel.
Tout ceci est indiqué dans l'applet précédente, en cliquant sur les boutons correspondant.
{ point de Gergonne } {AX} Segment (A,X)[hidden]; {BY} Segment (B,Y)[hidden]; {Ge} Intersect (AX,BY); { centre de gravité } {M} Dilation (B,C,0.5)[hidden]; {G} Dilation (A,M,0.33333333333333333)[hidden]; { point et droite de Nagel } {Na} Dilation (I,G, -2); {IG} Line (I,G); { point et cercle de Spieker } {S} Dilation (I,G, -0.5); {T} Dilation (X,G, -0.5)[hidden]; {Ks} Circle (S,T); |
{Iw} Line (w,I)[hidden]; {F} Intersect1 (Iw,Kw); {Jcw} Line (w,Jc)[hidden]; {Fc} Intersect1 (Jcw,Kw); |
La construction suivante construit le point de Feuerbach sans construire le cercle d'Euler,
directement sur le cercle inscrit.
Elle utilise une inversion qui conserve le cercle inscrit et le cercle exinscrit
dans l'angle C, de pôle le milieu P de AB.
On montre que cette inversion transforme la seconde tangente commune aux deux cercles en le
cercle d'Euler
(propriété utilisée pour prouver le théorème de Feuerbach).
Comme le point de contact de cette deuxième tangente commune est le symétrique Z' du point de contact Z avec BC par
rapport à la bissectrice (= ligne des centres), la construction directe du point de Feuerbach s'en déduit :
La droite PZ' recoupe le cercle inscrit en le point de Feuerbach !
On opère de même pour les points de contact avec les cercles exinscrits.
{P} Dilation (A,B,0.5)[hidden]; {Z!} Reflection (Z,Ci)[hidden]; {PZ!} Line (P,Z!)[hidden]; {Iff} Perpendicular (PZ!,I)[hidden]; {F} Reflection (Z!,Iff); { ... } |
La construction du cercle d'Euler n'est pas détaillée ici (voir plus haut).
{M!} Rotation/MarkedAngle (C,A,M,A,B)[hidden]; {Ak} Ray (M!,A); {P!} Rotation/MarkedAngle (A,C,P,C,B)[hidden]; {Ck} Ray (P!,C); {K} Intersect (Ak,Ck); |
L'axe de Lemoine est la polaire de K par rapport au cercle circonscrit.
En considérant le triangle tangentiel A'B'C' (tangent au cercle circonscrit en A,B,C),
les intersections des côtés correspondants A'B' et AB etc... sont sur cette droite,
et ce sont les centres des cercles d'Apollonius.
En construisant ce triangle tangentiel, on construit d'un coup le point de Lemoine, intersections de AA',BB',CC',
l'axe de Lemoine et les cercles d'Apollonius, et donc les centres isodynamiques G1 et G2.
Nota 1 : Les centres isodynamiques sont sur l'axe de Brocard OK, perpendiculaire donc à l'axe de Lemoine.
Nota 2 : les intersections des cercles d'Apollonius avec les côtés
donnent en prime les bisectrices (définition des cercles d'Apollonius).
Si donc les bissectrices sont déja tracées par ailleurs, la construction des centres des cercles d'Apollonius est
immédiate : Kc milieu de IJ etc... S'en déduit une construction directe du triangle tangentiel : droite KcC, KaA et KbB.
et donc du point de Lemoine, sans avoir besoin
de tracer ni les milieux des côtés, les médianes ou le centre du cercle circonscrit.
Nota 3 : Dans l'applet, le triangle ABC est assez petit pour que l'axe de Lemoine et les centres des cercles
d'Apollonius soient dans la figure.
Bien entendu, comme d'hab, A,B,C sont draggables.
La construction directe des symédianes est plus visible si on agrandit ABC.