Obsolete (plus d'applets Java)

Points et droites remarquables d'un triangle

O, G, H, droite et cercle d'Euler

On peut certes appliquer les définitions (point de concours des médiatrices, des médianes, des hauteurs) pour obtenir O, G et H. A moins de n'avoir besoin que de l'un de ces points, ou d'exhiber explicitement ces droites, une méthode globale est ici préférable.
Le centre de gravité est obtenu directement comme isobarycentre, sans tracer aucune droite.
L'orthocentre est obtenu par intersection de deux hauteurs (deux perpendiculaires).
Le centre du cercle circonscrit est alors obtenu directement par HO = 3HG/2, et donc le cercle circonscrit.
Le cercle d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit de rapport 1/2 et de centre H
(pour utiliser l'homothétie de rapport positif. Rappelons que Dilation de rapport < 0 ne marche pas avec un cercle).
Mais aussi son centre est le milieu de OH, et il passe par les milieux des côtés, dont l'un est déja construit !

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{M} Dilation (B,C,0.5)[hidden];
{G} Dilation (A,M,0.33333333333333333);
{ah} Perpendicular (BC,A)[hidden];
{bh} Perpendicular (AC,B)[hidden];
{H} Intersect (ah,bh);
{O} Dilation (G,H,1.5);
{circ} Circle (O,A);

{ droite et cercle d'Euler }
{droite} Line (G,H);
{w} Dilation (O,H,0.5)[hidden];
{cercle} Circle (w,M);
La droite d'Euler est bien sûr indéterminée si le triangle est équilatéral (O,G,H confondus).
L'applet affiche aussi les propriétés du cercle d'Euler (les 9 points) ainsi que les médianes, hauteurs et médiatrices en cliquant sur "props".

La relation GH = -2GO et ses dérivées permet de construire le 3ème point de O, G, H si on a déja construit les 2 autres. Ici O est construit à partir de G,H, on pourait aussi bien construire H à partir de O,G. Ici cela voudrait dire construire un milieu supplémentaire (pour construire O directement il faut 2 médiatrices).

Cercles inscrit / exinscrit

La construction des bissectrices est classique, en fait par la médiane d'un triangle isocèle.
Les projections du centre du cercle inscrit sur les côtés donnent les points de contact et donc la construction du cercle inscrit. De même pour les cercles exinscrits.
Cette projection peut être obtenue par des moyens classiques (perpendiculaire et intersection), mais aussi comme ici par le symétrique du point.
Les points de contact des cercles exinscrits sont symétriques des points de contact du cercle inscrit par rapport aux milieux des côtés correspondants.
Ceci donne la construction simplifiée de BXa = XC par un simple VectorTranslation.

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{ bissectrices }
{C!} Rotation/MarkedAngle (C,A,C,A,B)[hidden];
{iA} Dilation (C,C!, 0.5)[hidden];
{Ai} Ray (iA,A)[hidden];
{Aj} Perpendicular (Ai,A)[hidden];

{A!} Rotation/MarkedAngle (A,C,A,C,B)[hidden];
{iC} Dilation (A,A!, 0.5)[hidden];
{Ci} Ray (iC,C)[hidden];
{Cj} Perpendicular (Ci,C)[hidden];

{I} Intersect (Ai,Ci);
{Bi} Ray (I,B)[hidden];
{Bj} Perpendicular (Bi,B)[hidden];

{ point de contact et cercle inscrit }
{X!} Reflection (I,bc)[hidden];
{X} Dilation (I,X!,0.5)[hidden];
{Ki} Circle (I,X);

{ point de contact et cercle exinscrit }
{Xa} VectorTranslation (C,X,B)[hidden];
{Ja} Intersect (Ai,Bj);
{Ka} Circle (Ja,Xa);
{ ... idem pour les deux autres }
On notera que les milieux de IJa etc.. sont sur le cercle circonscrit et les médiatrices. Ceci permet aussi de construire les bissectrices si on a déja le cercle circonscrit.

Points de Nagel et de Gergonne - Point de Spieker

Les droites reliant les sommets aux points de contact des cercles exinscrits sont concourantes au point de Nagel Na.
Les droites reliant les sommets aux points de contact du cercle inscrits sont concourantes au point de Gergonne Ge.
Le point de Nagel Na peut toutefois être obtenu de manière expéditive par la relation GNa = -2GI
On notera que les points diamétralement opposés aux points de contact du cercle inscrit sont sur les céviennes de Na.

Le point de Spieker S est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian, cercle de Spieker. C'est ainsi le centre de gravité du triangle en fil de fer (centre de gravité des côtés du triangle). Le cercle de Spieker est bien entendu l'homothétique du cercle inscrit, dans l'homothétie de centre G et de rapport -1/2.
Les points de contact du cercle de Spieker sont les intersections des côtés du triangle médian avec les céviennes de N.
La droite IGSNa est appelée la droite de Nagel.
Tout ceci est indiqué dans l'applet précédente, en cliquant sur les boutons correspondant.

{ point de Gergonne }
{AX} Segment (A,X)[hidden];
{BY} Segment (B,Y)[hidden];
{Ge} Intersect (AX,BY);

{ centre de gravité }
{M} Dilation (B,C,0.5)[hidden];
{G} Dilation (A,M,0.33333333333333333)[hidden];

{ point et droite de Nagel }
{Na} Dilation (I,G, -2);
{IG} Line (I,G);

{ point et cercle de Spieker }
{S} Dilation (I,G, -0.5);
{T} Dilation (X,G, -0.5)[hidden];
{Ks} Circle (S,T);

Point de Feuerbach

Le cercle d'Euler est tangent aux cercles inscrits et exinscrits aux points de Feuerbach.
Bien entendu, une construction utilisant cette définition est possible :
Le cercle inscrit est toujours intérieur au cercle d'Euler, il n'y a donc pas d'incertitude sur le Intersect1( ) ou Intersect2( )

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{Iw} Line (w,I)[hidden];
{F} Intersect1 (Iw,Kw);
{Jcw} Line (w,Jc)[hidden];
{Fc} Intersect1 (Jcw,Kw);

La construction suivante construit le point de Feuerbach sans construire le cercle d'Euler, directement sur le cercle inscrit. Elle utilise une inversion qui conserve le cercle inscrit et le cercle exinscrit dans l'angle C, de pôle le milieu P de AB.
On montre que cette inversion transforme la seconde tangente commune aux deux cercles en le cercle d'Euler (propriété utilisée pour prouver le théorème de Feuerbach).
Comme le point de contact de cette deuxième tangente commune est le symétrique Z' du point de contact Z avec BC par rapport à la bissectrice (= ligne des centres), la construction directe du point de Feuerbach s'en déduit :
La droite PZ' recoupe le cercle inscrit en le point de Feuerbach !
On opère de même pour les points de contact avec les cercles exinscrits.

{P} Dilation (A,B,0.5)[hidden];
{Z!} Reflection (Z,Ci)[hidden];
{PZ!} Line (P,Z!)[hidden];
{Iff} Perpendicular (PZ!,I)[hidden];
{F} Reflection (Z!,Iff);
{ ... }
Cette construction échoue si P=Z=Z', mais alors F=P aussi (le triangle est isocèle).
La construction directe n'a pas cet inconvénient : elle n'échoue que si le triangle est équilatéral (le cercle d'Euler étant confondu avec le cercle inscrit, le point de Feuerbach n'est pas défini).

La construction du cercle d'Euler n'est pas détaillée ici (voir plus haut).

Point de Lemoine - axe de Lemoine etc...

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Le point de Lemoine K est défini comme le point de concours des symmédianes, droites isogonales des médianes.
Pour le construire, le plus simple est donc ici d'appliquer cette définition.

{M!} Rotation/MarkedAngle (C,A,M,A,B)[hidden];
{Ak} Ray (M!,A);
{P!} Rotation/MarkedAngle (A,C,P,C,B)[hidden];
{Ck} Ray (P!,C);
{K} Intersect (Ak,Ck);
Cette méthode est appliquable à la construction du conjugué isogonal d'un point quelconque.
Ici K est le conjugué de G.

L'axe de Lemoine est la polaire de K par rapport au cercle circonscrit.
En considérant le triangle tangentiel A'B'C' (tangent au cercle circonscrit en A,B,C), les intersections des côtés correspondants A'B' et AB etc... sont sur cette droite, et ce sont les centres des cercles d'Apollonius.
En construisant ce triangle tangentiel, on construit d'un coup le point de Lemoine, intersections de AA',BB',CC', l'axe de Lemoine et les cercles d'Apollonius, et donc les centres isodynamiques G1 et G2.
Nota 1 : Les centres isodynamiques sont sur l'axe de Brocard OK, perpendiculaire donc à l'axe de Lemoine.
Nota 2 : les intersections des cercles d'Apollonius avec les côtés donnent en prime les bisectrices (définition des cercles d'Apollonius).
Si donc les bissectrices sont déja tracées par ailleurs, la construction des centres des cercles d'Apollonius est immédiate : Kc milieu de IJ etc... S'en déduit une construction directe du triangle tangentiel : droite KcC, KaA et KbB. et donc du point de Lemoine, sans avoir besoin de tracer ni les milieux des côtés, les médianes ou le centre du cercle circonscrit.

Nota 3 : Dans l'applet, le triangle ABC est assez petit pour que l'axe de Lemoine et les centres des cercles d'Apollonius soient dans la figure.
Bien entendu, comme d'hab, A,B,C sont draggables. La construction directe des symédianes est plus visible si on agrandit ABC.

 

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