Points remarquables - suite
Conjugué isogonal
Nous avons déja vu à propos du point de Lemoine la construction du conjugué isogonal d'un point. (Le point de Lemoine est par définition le conjugué isogonal du centre de gravité).De façon générale :
{Qa} Rotation/MarkedAngle (C,A,P,A,B)[hidden];
{aq} Line (A, Qa)[hidden];
{Qb} Rotation/MarkedAngle (C,B,P,B,A)[hidden];
{bq} Line (B, Qb)[hidden];
{Q} Intersect (aq,bq);
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Si la droite AB est déja tracée, c'est même encore plus simple :
{aq} Rotation/MarkedAngle (ab,A,P,A,C)[hidden];
{bq} Rotation/MarkedAngle (ab,B,P,B,C)[hidden];
{Q} Intersect (aq,cq);
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Parmi les points conjugué isogonaux remarquables, donnant ainsi une construction de l'un connaîssant l'autre :
| Orthocentre H | Centre du cercle inscrit O |
| Centre de gravité G | Point de Lemoine K |
| Centres isodynamiques G1,G2 | Points de Fermat F1,F2 |
| Point de Brocard Ω | Point de Brocard Ω' |
| Centre du cercle inscrit I | lui-même ! |
Les régions du plan "conjuguées" sont ainsi : a↔a', b↔b' c↔c' et les autres sont leur propre conjuguées, 1↔1, etc...
Conjugué isotomique
Cette conjuguaison là est moins riche en propriétés. Parmi les points isotomiques remarquables citons juste les points de Gergonne et de Nagel, et c'est tout parmi les points classiques !La construction se fait avec les pieds des céviennes :
{ pieds des céviennes }
{ap} Line (A,P)[hidden];
{bp} Line (B,P)[hidden];
{A!} Intersect (ap,bc)[hidden];
{B!} Intersect (bp,ac)[hidden];
{ conjugué }
{A!!} VectorTranslation (B,A!,C)[hidden];
{B!!} VectorTranslation (C,B!,A)[hidden];
{aq} Line (A,A!!)[hidden];
{bq} Line (B,B!!)[hidden];
{Q} Intersect (aq,bq);
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Points de Fermat/Toricelli/centre isogonal
Les angles de droite des céviennes en ce point sont égaux, donc égaux à 60°. Deux points sont solutions.La difficulté de cette construction est qu'elle est orientée : le changement de sens de ABC inverse les deux points de Fermat !
La méthode la plus expéditive est de construire des triangles équilatéraux extérieurs à ABC.
ABC' ACB' et BCA'. Les droites AA', BB', CC' sont concourantes en le point de Fermat F.
Il est bien entendu inutile de tracer effectivement ces triangles (sauf à vouloir les exhiber) :
seuls deux des points A',B',C' sont nécessaires, obtenu par rotation de 60° d'un sommet adjacent.
Le problème est le signe de cette rotation !
Pour garantir que l'on construit bien à l'extérieur de ABC, le mieux est encore de le calculer !
{a} Angle (B,A,C,5,15,'A = ')[hidden];
{t} Calculate (5,30,'t = ','1@atan4*3/A@sgn_*')(a)[hidden];
{A!} Rotation/MeasuredAngle (B,C,t)[hidden];
{B!} Rotation/MeasuredAngle (C,A,t)[hidden];
{aa} Line (A,A!)[hidden];
{bb} Line (B,B!)[hidden];
{F} Intersect (aa,bb);
{ point extérieur F' }
{A2!} Rotation/MeasuredAngle (C,B,t)[hidden];
{B2!} Rotation/MeasuredAngle (A,C,t)[hidden];
{aa2} Line (A,A2!)[hidden];
{bb2} Line (B,B2!)[hidden];
{F2} Intersect (aa2,bb2);
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Le deuxième point de Fermat F' est construit avec des triangles équilatéraux dans l'autre sens.
Seul le premier F (triangles équilatéraux extérieurs à ABC) est susceptible d'être à l'intérieur de ABC, si celui-ci a tous ses angles < 120°.
Les 3 côtés de ABC sont alors vus de ce point sous des angles de 60°
F', ou F si un angle de ABC >120°, voit un des côtés sous l'angle de 120°
F et F' sont aussi les points communs aux 3 cercles circonscrits aux triangles équilatéraux précités.
Centre isodynamique / cercles d'Apollonius
Le lieu des points avec MA/MB = CA/CB est un cercle, de diamètre les points d'intersection des bisectrices de l'angle C avec AB.De même pour les 3 autres côtés.
| Ces trois cercles d'Apollonius ont deux points communs :
Les centres isodynamiques |
On peut les construire d'après leur définition. Mais il y a plus expéditif :
Comme indiqué au début de la page, ce sont les conjugués isogonaux des points de Fermat !
{ point de Fermat }
{a} Angle (B,A,C,5,15,'A = ')[hidden];
{t} Calculate (5,30,'t = ','1@atan4*3/A@sgn_*')(a)[hidden];
{A!} Rotation/MeasuredAngle (B,C,t)[hidden];
{B!} Rotation/MeasuredAngle (C,A,t)[hidden];
{ conjugué isogonal }
{Qa} Rotation/MarkedAngle (C,A,A!,A,B)[hidden];
{Qb} Rotation/MarkedAngle (C,B,B!,B,A)[hidden];
{aq} Line (A, Qa)[hidden];
{bq} Line (B, Qb)[hidden];
{Q} Intersect (aq,bq);
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Voir aussi dans la page précédente la relation avec l'axe de Lemoine et l'axe de Brocard.
Dans l'applet, les cercles d'Apollonius sont ainsi construits après coup, sans s'occuper des bisectrices :
{ axes de Brocard et de Lemoine }
{X} Dilation (Q,Q2, 0.5)[hidden];
{qq} Line (Q,Q2)[hidden];
{LL} Perpendicular (qq,X)[hidden];
{ cercles d'Apolonius }
{Pa} Intersect (LL,bc)[hidden];
{Ka} Circle (Pa,A);
{Pb} Intersect (LL,ac)[hidden];
{Kb} Circle (Pb,B);
{Pc} Intersect (LL,ab)[hidden];
{Kc} Circle (Pc,C);
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Points de Brocard / axe de Brocard / cercle de Brocard
Définition :Le point Ω tel que les angles ΩAB = ΩBC = ΩCA
Le deuxième point de Brocard Ω' étant en tournant dans l'autre sens : Ω'BA = Ω'CB = Ω'AC
(Nommés W et W' dans l'applet qui ne sait pas afficher du grec)
On peut les construire par leur propriété caractéristique :
Intersection des cercles tangent à AB en A et passant par C etc...
{ Cercle de centre I, tangent en C à AC, passant par B }
{m} Dilation (B,C, 0.5)[hidden];
{mi} Perpendicular (bc,m)[hidden];
{ci} Perpendicular (ac,C)[hidden];
{I} Intersect (ci,mi)[hidden];
{ Cercle de centre J, tangent en A à AB, passant par C }
{n} Dilation (A,C, 0.5)[hidden];
{nj} Perpendicular (ac,n)[hidden];
{aj} Perpendicular (ab,A)[hidden];
{J} Intersect (aj,nj)[hidden];
{ 2ème intersection }
{ij} Line (I,J)[hidden];
{W} Reflection (C,ij);
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Le deuxième point de Brocard se construit de même, ou comme conjugué isogonal du 1er.
Mais on peut aussi faire intervenir le (premier) triangle de Brocard :
Les céviennes des deux points de Brocard sont symétriques par rapport aux médiatrices de ABC
{aw!} Reflection (cw,nj)[hidden];
{cw!} Reflection (bw,mi)[hidden];
{W!} Intersect (aw!,cw!);
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Les points de Brocard Ω et Ω', les sommets du triangle de Brocard sont sur un même cercle, le cercle de Brocard de diamètre OL, O étant le centre du cercle circonscrit, et L le point de Lemoine. OL est un diamètre de ce cercle : l'axe de Brocard. (bouton etc de l'applet)
Point en coordonnées barycentriques
La technique de construction expéditive du centre de gravité avec juste deux Dilation peut être utilisée pour n'importe quel point dont on connaît les coordonnées barycentriques x:y:z C'est à dire le barycentre de (A,x) (B,y) (C,z) ou encore dans un repère quelconque P = (x.A + y.B + z.C)/(x+y+z)Soit M le point (x.A + y.B)(x+y), barycentre de (A,x) (B,y). alors P = ((x+y).M + z.C)/((x+y) + z) est le barycentre de (M,(x+y)) et (C,z) : Théorème d'associativité barycentrique. On peut donc construire P avec juste deux Dilation :
{M} Dilation (B,A, y/(x+y))
{P} Dilation (C,M, z/(x+y+z))
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Prenons comme exemple au hasard dans l'encyclopédie des points remarquables ETC le point X37, de coordonnées barycentriques a(b+c):b(a+c):c(a+b), ici pas trop compliquées (pour juste un exemple) :
{ mesures }
{a} Distance (B,C,0,0,' ')[hidden];
{b} Distance (A,C,0,0,' ')[hidden];
{c} Distance (A,B,0,0,' ')[hidden];
{ calcul
{r1} Calculate (0,0,' ','BCA+*ABC+*BCA+*+/')(a,b,c)[hidden];
{r2} Calculate (0,0,' ','CAB+*ABC+*BCA+*+CAB+*+/')(a,b,c)[hidden];
{M} Dilation/MarkedRatio (B,A,r1);
{X37} Dilation/MarkedRatio (C,M,r2);
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Comparer avec la construction géométrique "officielle" de ce point, comme "cross-point" de G et I :
{ tracé des médianes Am, Bn, Cp et des bisectrices Ai, Bi, Ci }
{ ... comme d'hab ... }
{ construction du 'cross point' de I et G }
{Xa} Intersect (Cp,Bi)[hidden];
{Ya} Intersect (Ci,Bn)[hidden];
{xyA} Line (Xa,Ya)[hidden];
{Xb} Intersect (Am,Ci)[hidden];
{Yb} Intersect (Ai,Cp)[hidden];
{xyB} Line (Xb,Yb)[hidden];
{X} Intersect (xyA,xyB);
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