Obsolete (plus d'applets Java)

Coniques

Ellipse par son cercle principal

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Un axe et un point : Il s'agit d'effectuer une affinité orthogonale.
Le rapport est déterminé à partir du point P, en construisant les intersections H et M de la perpendiculaire en P avec l'axe OA et le cercle de centre O passant par A.
Un point courant, et son lieu, est alors construit par H'P' = H'M' × HP/HM

{M!} Point on object (C, -2.5)[hidden];
{mh!} Perpendicular (aa,M!)[hidden];
{H!} Intersect (mh!,aa)[hidden];
{P!} Dilation/3PtRatio (M!,H!,H,M,P)[hidden];
{ell} Locus (P!,M!,C, 100)[red];

Dans l'applet le point M' est visible et déplaçable, donnant un point P' courant sur l'ellipse.
AA' peut être le petit axe ou le grand axe selon P donné.
Diverses variantes de cette construction, en choisissant le point de contrôle H' sur l'axe au lieu de M' sur le cercle, mais on obtient une moitié d'ellipse et il faut tracer deux Locus.

Hyperbole par ses asymptotes

Asymptotes et un point.
P est le milieu de la tangente HK. H est donc construit en projetant P en H1, milieu de OH, parallèlement à l'autre asymptote.
OH.OK = cte va donner la construction d'un point courant de l'hyperbole, en balayant H' sur Ox avec OK'.OH' = OK.OH, et P' milieu de H'K'.
Le problème vient tout d'abord qu'il est impossible de balayer une droite entière avec JavaSketchpad. Seul un segment de cette droite est le domaine de définition d'un Locus. Pour contourner cette limitation, H ' est l'intersection avec Ox d'un rayon tournant sur un cercle quelconque.
Enfin quand H' vient en O, il apparaît des "points à l'infini" qui fournissent un tracé erratique de l'hyperbole.
On limite donc, pour avoir un tracé propre, à la demi droite Ox sauf un petit bout au voisinage de O.
Le point H' le plus éloigné est lié au nombre de pas du Locus. Il est donc nécessaire que ce nombre soit suffisemment grand (ici 200).
La deuxième branche est tracée par symétrie.
La construction de K' à partir de H' est effectuée par des parallèles : OK'/OK = OH/OH'.

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java.

{ tangente HK en P }
{Ph1} Parallel (Oy,P)[hidden];
{H1} Intersect (Ph1,Ox)[hidden];
{H} Dilation (H1,O, 2)[hidden];
{hk} Line (H,P)[hidden];
{K} Intersect (hk,Oy)[hidden];

{ élimine le voisinage de O }
{O!} Dilation (H1,O, 0.0001)[hidden];
{Ox!} Ray (H1,O!)[hidden];

{ rayon tournant }
{C} Circle (P,O)[hidden];
{t} Point on object (C, 0)[hidden];
{Pt} Ray (t,P)[hidden];

{ point courant }
{H!} Intersect (Pt,Ox!)[hidden];
{H!K} Line (H!,K)[hidden];
{HK!} Parallel (H!K,H)[hidden];
{K!} Intersect (HK!,Oy)[hidden];
{P!} Dilation (H!,K!, 0.5)[hidden];
{hyp1} Locus (P!,t,C, 200);

{ autre branche }
{P!!} Dilation (P!,O, -1)[hidden];
{hyp2} Locus (P!!,t,C, 200);

Sans se compliquer la vie avec les points à l'infini et sans la précaution prise, l'intersection "sauvage" de la droite Pt avec la droite (entière) Ox fait apparaître les tracés erratiques précités : bouton "sauvage" dans l'applet. Mais on trace (hum) les deux branches d'un coup.

Conique par son cercle directeur

Deux foyers et un point.

La propriété |PF ± PF'| = cte se traduit directement par cette construction.
Le point c avec Fc = PF + PF' (ellipse) ou Fc = |PF - PF'| (hyperbole) est construit sur la droite PF.
Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Le cercle de centre F et passant par c est alors le cercle directeur cherché.

La construction classique du point courant P' de la conique à partir d'un point courant t du cercle directeur, P' est l'intersection de Ft avec la médiatrice de F't, permet de tracer la conique lieu de P'.

{ hyperbole : }
{c} Rotation/MarkedAngle (F!,P,F!,P,F)[hidden];
{C} Circle (F,c)[hidden];

{ ellipse : }
{c} Rotation/MarkedAngle (F!,P,F!,P,F)[hidden];
{c!} Dilation (c,P, -1)[hidden];
{C} Circle (F,c!)[hidden];

{ dans les deux cas }
{t} Point on object (C, 0)[hidden];
{Ft} Line (F,t)[hidden];
{F!t} Segment (F!,t)[hidden];
{m} Dilation (F!,t, 0.5)[hidden];
{p} Perpendicular (F!t,m)[hidden];
{P} Intersect (Ft,p)[hidden];
{conique} Locus (P,t,C, 200);

Dans le cas d'une hyperbole, les "points à l'infini" conduisent au tracé aberrant de fausses asymptotes.
Cet inconvénient n'est pas évitable sans complications démesurées (construction conditionnelle limitant t à un arc de cercle).

Parabole par foyer et directrice

La parabole est définie comme lieu des points à égale distance du foyer et de la directrice.
Ici, la parabole est définie par le foyer F et le sommet S. L'axe FS est tracé et la directrice s'en déduit comme perpendiculaire à distance 2FS de F.

Un point courant P de la parabole est construit à partir d'un point courant H de la directrice, comme intersection de la perpendiculaire en H et de la médiatrice de FH.
Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Là aussi, si on veut une parabole qui paraisse complète, plutôt que de se limiter à un segment de la directrice, le point H est obtenu par un rayon tournant.

{axe} Line (F,S)[hidden];
{D} Dilation (S,F, 2)[hidden];
{dir} Perpendicular (axe,D)[hidden];

{C} Circle (F,D)[hidden];
{t} Point on object (C, 0)[hidden];
{Ft} Ray (t,F)[hidden];
{H} Intersect (Ft,dir)[hidden];
{Hp} Perpendicular (dir,H)[hidden];
{m} Dilation (H,F, 0.5)[hidden];
{med} Perpendicular (Ft,m)[hidden];
{P} Intersect (med,Hp)[hidden];
{para} Locus (P,t,C, 200);

Conique par 5 points

Encore une construction classique, "à la règle seule", sur le théorème de Pascal.
Un 6ème point courant est construit à partir d'une droite arbitraire passant par A, (pilotée par un point sur un cercle de centre A).
On considère les 6 points comme formant un hexagone AMBDCE
les côtés opposés se coupent en 3 points alignés I = AE∩BD, J = AM∩CD, K = BM∩CE
Ceci permet inversement la construction du 6ème point inconnu M sur une droite arbitraire Am :
I = AE∩BD
Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. J = Am∩CD
K = IJ∩CE
M = Am∩BK

{ae} Line (A,E)[hidden];
{bd} Line (B,D)[hidden];
{cd} Line (C,D)[hidden];
{ce} Line (C,E)[hidden];
{I} Intersect (ae,bd)[hidden];
{W} Circle (A,B)[hidden];
{m} Point on object (W, 0)[hidden];
{am} Line (A,m)[hidden];
{J} Intersect (am,cd)[hidden];
{ij} Line (I,J)[hidden];
{K} Intersect (ij,ce)[hidden];
{bm} Line (B,K)[hidden];
{M} Intersect (am,bm)[hidden];
{loc} Locus (M,m,W, 400);
Là aussi, des points à l'infini donnent des tracés de "fausses asymptotes".
Rendre le tracé propre est ici aussi démesurément compliqué, d'autant que la construction des directions asymptotiques n'est pas simple !
La construction échoue même si I est déja de par les données de A,B,C,D,E à l'infini (AE // BD). Le mieux est alors de permuter les 5 points.
Si 3 des points donnés sont alignés, la conique dégénère en deux droites. Ce cas aussi n'est pas net dans l'applet (lieu incomplet et erratique).

 

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