Les soeurs Durand - Solution

Dans la famille Durand, certaines soeurs ont les yeux bleus. Si on choisit deux soeurs au hasard, la probabilité qu'elles aient toutes deux les yeux bleus est de 1/2.
Combien y a-t-il de soeurs Durand et combien aux yeux bleus ?

Soit n le nombre de soeurs dont b ont les yeux bleus.
Il y a n(n - 1)/2 façons de choisir deux soeurs et b(b - 1)/2 façons de choisir deux soeurs aux yeux bleus.
Donc la probabilité d'en choisir deux aux yeux bleus est b(b - 1)/n(n - 1), et l'équation n(n - 1) = 2b(b - 1)
En posant 2n = x + 1, et 2b = y + 1 :  x² - 2y² = -1 

Ceci est une équation de Pell de forme générale x² - Dy² = k
x₀ = 1, y₀ = 1 est une solution évidente, qui est fondamentale puisqu'une solution plus petite aurait x et y < 1
La solution fondamentale de x² - 2y² = 1 est alors u = x₀² + Dy₀² = 3 et v = 2x₀y₀ = 2
Toutes les solutions sont alors données par x_n+1 = ux_n + vDy_n = 3x_n + 4y_n,    y_n+1 = vx_n + uy_n = 2x_n + 3y_n, c'est à dire :
(1,1) (7,5) (41,29) (239,169) (1393,985) ...
Le nombre de soeurs Durand est n = (x + 1)/2 soit :
1, 4, 21, 120,...
n = 1 ne convient pas car il n'y a aucune possibilité de choisir deux soeurs s'il n'y en a qu'une !
Il y a vraisemblablement 4 soeurs car n = 21 et plus est plutôt effrayant...
b = (y + 1)/2 = 3 soeurs ont les yeux bleus

New : Les chaussettes

En vrac dans un tiroir, j'ai un certain nombre de paires de chausettes noires et de paires de chaussettes blanches. Malheureusement j'ai perdu une chaussette. Toutefois en en prenant deux au hasard, j'ai une chance sur deux qu'elles soient toutes les deux blanches.

Les mêmes équations donnent les mêmes solutions, mais ...
J'ai un nombre total de chaussettes impair, puisque j'en ai perdu une, le nombre total de chaussetttes est donc
1, 21, 697, ...
1 ne convient évidemment pas (il n'y a aucun moyen de prendre deux chaussettes) et 697 chaussettes, non merci..
J'ai donc 21 chaussettes dont 15 blanches, j'ai donc perdu une chaussette blanche.