x² - 7y² = 1 a pour solution fondamentale x0 = 8, y0 = 3
(divination ou algorithme PQa)
On peut chercher par essais les valeurs de y entre 0≤ y ≤ 3√(9/18) soit
0 ≤ y ≤ 2.
y = 0 donne x = ±3
y = 1 donne x = ±4
y = 2 donne x² = 37 impossible.
Il y a donc 4 solutions primitives, mais qui ne sont pas toutes indépendantes
(±3,0) sont équivalentes, de façon générale
(x,y) ~ (-x,-y)
(4, ±1) sont indépendantes : 16 + 7 = 26 premier avec 9.
(3,0) et (4,1) sont indépendantes
(3,0) et (4,-1) sont indépendantes
Finalement trois solutions primitives indépendantes : (3,0), (4,1) et (4,-1)
Les solutions générales sont formées des trois familles
xn + yn√7 = (8 + 3√7)n(3 + 0√7)
xn + yn√7 = (8 + 3√7)n(4 + √7)
xn + yn√7 = (8 + 3√7)n(4 - √7)
Ou les formules de récurence :
xn+1 = 8xn + 21yn, yn+1 = 3xn + 8yn, en partant de (x,y)=(3,0), (4,1) et (4,-1)
soit les trois familles :
(3,0) (24,9) (381,144) ... qui donne 7y² = 0, 567, 145152, ... pions
(4,-1) (11,4) (172,65) ... qui donne 7y² = 7, 112, 29575, ... pions
(4,1) (53,20) (844,319) ... qui donne 7y² = 7, 2800, 712327, ... pions
Et finalement après remise en ordre des solutions :
0, 7, 112, 567, 2800, 29575 ...
La plus petite solution non triviale est 112 pions.