x + 1 = 2y² et x² + 1 = 2z²
Soit en portant x = 2y² - 1 dans la deuxième :
(2y² - 1)² + 1 = 2z² ou encore après simplification :
2y²(y² - 1) = z² - 1 = (z + 1)(z - 1)
z² - 1 étant donc un nombre pair, z² et donc z est impair
Donc PGCD(z+1, z-1) = 2.
Le PGCD des deux nombres consécutifs y² et (y² - 1) est bien sûr 1
On obtient alors les seules possiblilités :
{(z + 1),(z - 1)} = {2, y²(y² - 1)} ou {2y², (y² - 1)} ou {y², 2(y² - 1)}
Soit 6 systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues z et y² dont les seules solutions
avec z et y entiers sont z = ±1 et z = ±5
Les seules solutions sont x = 1 et x = 7