Trouver ce nombre

Ce nombre n'a pas de chance : La somme de ses chiffres vaut 13, à 1 près, et à 1 près c'est le produit de 13x13 par trois nombres consécutifs. Il est heureusement divisible par 7.

N=169p(p+1)(p+2)+/-1
p(p+1)(p+2) est toujours divisible par 3 donc le reste de la division de N par 3 est +/-1.
La somme des chiffres de N n'est donc pas un multiple de 3 et ne peut etre 13-1=12, c'est donc 14 dont le reste de la division par 3 est -1. Donc N=169p(p+1)(p+2)-1
N est divisible par 7, donc le reste de la division de 169p(p+1)(p+2) par 7 est 1. Le reste de la division de 169 par 7 étant 1, le reste de la division de p(p+1)(p+2) par 7 est aussi 1.
Les restes de p, p+1 et p+2 par 7 ne sont pas nuls et p est donc un multiple de 7 plus 1,2,3 ou 4.
Les restes de la division par 7 de p+1 et p+2 sont respectivement 2,3,4,5 et 3,4,5,6.
Les restes de la division par 7 de p(p+1)(p+2) sont alors respectivement 6,3,4 et 1.
Donc p est un multiple de 7 plus 4.

N=169(7k+4)(7k+5)(7k+6)-1

Les premières valeurs de N :

somme des chiffres

La plus petite solution :

N=290003

s'il y en a d'autres elles doivent être très grandes (avec beaucoup de 0) !!