Les chiffres de rang pair sont alors pairs. Ceux qui restent, les chiffres impairs.
Le chiffre de rang 10 est 0, le chiffre de rang 5 est 5.
Soit donc ABCD5EFGH0 où {A,C,F,H}={1,3,7,9} et {B,D,E,G}={2,4,6,8}.
Le nombre ABCD5EFGH est toujours divisible par 9 car la somme de ses chiffres est 45.
ABCD divisible par 4 si et seulement si CD divisible par 4.
Comme C est impair, D est 2 ou 6.
De même ABCD5EFG multiple de 8 si et seulement si EFG multiple de 8.
Comme E est pair, FG doit être lui même un multiple de 8.
Avec F={1,3,7,9} ceci impose les valeurs correspondantes de G={6,2,2,6} et D={2,6,6,2}
Alors {B,E}={4,8} (les chiffres pairs restant).
ABCD5E multiple de 6, et comme ABC est multiple de 3, D5E aussi.
Alors D+E multiple de 3 plus 1 : D=2 et E=8 ou D=6 et E=4
Etudions maintenant ABC qui doit être multiple de 3
1472589 pas multiple de 7
1836547 pas multiple de 7
1896543 pas multiple de 7
1896547 pas multiple de 7
3816547 multiple de 7 donne la solution 3816547290
7412589 pas multiple de 7
7896543 pas multiple de 7
9816543 pas multiple de 7
9816547 pas multiple de 7
9876543 pas multiple de 7
Il y a donc 1 seule solution : 3816547290.
L'abandon de la contrainte sur les chiffres donne à priori de plus nombreuses solutions :
On peut choisir les deux premiers chiffres au hasard du moment que le deuxième est pair.
Le troisième chiffre est déterminé modulo 3, en gros 3 ou 4 possibilités au choix.
Le 4ème est alors déterminé modulo 4 soit 2 ou 3 posibilités.
Le 5ème est 0 ou 5.
Le 6ème est alors déterminé modulo 6, ce qui ne laisse
que 1 ou 2 possibilités, etc jusqu'au 9ème qui est déterminé modulo 9,
soit là encore 1 ou 2 possibilités. Le 10ème chiffre est forcément 0.
Il y a ainsi au moins 9x5x3x2x2=540 solutions pour un nombre de 10 chiffres.
Le problème se gâte avec le 11ème chiffre, car il n'existe aucun chiffre
multiple de 11 moins 1.
Le choix du 11ème chiffre peut ainsi être impossible, selon les choix effectués
pour les 10 premiers.
De même pour les chiffres suivants, le choix est de plus en plus restreint.
Notons tout d'abord que si A est un nombre étranche de n chiffres, le nombre B formé des
n-1 premiers chiffres de A est un nombre étranche de n-1 chiffres.
Nous dirons que ce nombre B de n-1 chiffres peut se prolonger en un nombre étranche (A)
de n chiffres.
Appelons nombre étranche terminal un nombre étranche qui ne peut pas se prolonger.
En fait seuls ces nombres étranches terminaux nous intéressent.
L'étude précédente sur les 10 premiers chiffres des nombres étranches montre qu'il
n'existe aucun nombre étranche terminal de moins de 10 chiffres.
On arrive ainsi au nombre 0000000000 composé de dix 0 (qui est bien entendu un nombre
étranche). Si on cherche à prolonger ce nombre étranche par un 11ème chiffre,
ce chiffre ne peut être que 0.
Il n'existe pas de nombres non nuls étranches k-augmentés avec k=10 et plus.
Un petit programme de recherche (JavaScript) donne 2492 nombres étranches terminaux :
267 à 10 chiffres
184 à 11 chiffres
466 à 12 chiffres
443 à 13 chiffres
362 à 14 chiffres
199 à 15 chiffres
236 à 16 chiffres
155 à 17 chiffres
90 à 18 chiffres
46 à 19 chiffres
26 à 20 chiffres
6 à 21 chiffres
6 à 22 chiffres
3 à 23 chiffres
2 à 24 chiffres 144408645048225636603816 et 402852168072900828009216
1 a 25 chiffres (le plus grand): 3608528850368400786036725
Quant aux nombres étranches commençant par 0 (qui conduisent aux nombres étranches k-augmentés),
on en trouve 284, y compris le "nombre" 00000... avec un nombre infini de chiffres zéros.
Le nombre étranche "le plus k-augmenté" est ainsi 902468,
qui est un nombre étranche 8-augmenté.
Le plus grand nombre étranche 1-augmenté : 24054885036000090006.
La liste complète (56K).