Le problème classique donne aussi que ces nombres sont ≤100. On va prouver ici que cette information peut etre remplacée par "Le problème est soluble (a une et une seule solution)".
La première remarque de Paul indique que le produit P se factorise en P = uv de plusieurs façon.
Soit P1 l'ensemble des produits p se factorisant d'au moins deux façons.
La remarque de Simon indique que toutes les partitions possibles de sa somme S donnent deux
nombres u + v = S dont le produit uv est dans P1.
Soit S1 l'ensemble des nombres s dont toutes les partitions
u + v = s ont uv dans P1.
Paul pouvant conclure, il y a une seule factorisation de son produit P = uv avec u + v dans S1.
Soit P2 les p ayant une seul factorisation p = uv avec u + v dans S1.
Simon pouvant alors répondre, c'est qu'il existe une décomposition unique de sa
somme S = u + v avec uv dans P2.
Soit S2 les s ayant une seule décompostion s = u + v avec uv dans P2.
Notre problème sera soluble si S2 a un seul élément S. La seule décomposition S = u + v avec uv dans P2 nous donnera P = uv et donc u et v.
Reste donc à expliciter les ensembles P1 S1 P2 S2
en se limitant aux cas avec
2 ≤ (u,v) ≤ max.
La connaissance de max est nécessaire à la résolution du problème car les calculs en dépendent.
Fixons nous max = 100, puis nous étudierons les variations de ces bornes.
P1 est composé de nombres <max². Il faut éliminer les nombres premiers,
les produits de deux nombres premiers, les carrés et les cubes de nombres premiers...
mais aussi en tenant compte des cas où un facteur est plus grand que max = 100
comme pour 212 = 2²×53 car des 2 factorisations possibles 4×53 et 2×106, 2×106 est rejetée (106>100)
Il reste 1087 nombres sur 10000 dans P1.
Ceci justifie un programme pour déterminer les P1 S1 P2 S2
S1 a 10 éléments :
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53
P2 a 86 éléments :
18, 24, 28, 50, 52, 54, 76, 92, 96,...
S2 = {17} un seul élément
Des décompositions possibles de 17, seule 17 = 4 + 13 donne 4×13 = 52 dans P2
et les nombres sont 4 et 13.
Pour que le problème posé soit soluble il faut que 62 ≤ max ≤ 865.
Si max < 62, le problème est impossible et S2 est vide.
Si max > 865, le problème admet plusieurs possibilités S2 = {17, 65}.
Entre 62 et 865 la solution unique est toujours S2 = {17} et donc les nombres 4 et 13.
Si on n'indique pas la borne inférieure :
[1,13] => 1 solution (4,5), [1,max] a plusieurs solutions si max > 13
[3,max] impossible si max<94, 1 solution (13,16) si 94 ≤ max ≤ 957, 2 solutions et plus si max > 957
[min,max] pas de solution si min > 3 et max < 5000 et plus.
Conclusion, la donnée dans l'énoncé de la borne inférieure est incontournable.
Un programme en C est disponible à http://www.dma.im.ufrj.br/~cassio/f-impossivel.html