Nombres chiffrés- Solutions

(20+25)² = 2025

Trouver tous les nombres de 4 chiffres ayant cette propriété, les nombres de 6 chiffres ?

soit (· + ···)² = ····, (·· + ··)² = ···· et (··· + ·)² = ···· avec les mêmes chiffres dans le même ordre.
(x+y)² = 10ⁿ x + y, soit x² + 2(y - 10ⁿ/2)x + y² - y = 0
x doit être un nombre entier, le discriminant de cette équation doit donc être un carré :
m² = (y - 10ⁿ/2)² - y² + y = (10ⁿ/2)² - y(10ⁿ - 1) soit  m² ≡ (10ⁿ/2)² mod (10ⁿ - 1) 

il faut limiter y ≥ 0 => m² ≤ (10ⁿ/2)², |m| ≤ 10ⁿ/2
y = ((10ⁿ/2)² - m²)/(10ⁿ - 1) et x = 10ⁿ/2 - y ± m
Il reste donc à résoudre dans les cas
n = 1, 100 ≤ x ≤ 999 impossible car x ≤ 10ⁿ/2 - 0 + 10ⁿ/2 = 10
n = 2, 10 ≤ x ≤ 99
n = 3, 1 ≤ x ≤ 9.

nombres de 4 chiffres, n = 2

soit m² ≡ 50² mod 99
99 = 9×11 : m² ≡ 50² mod 9 et m² ≡ 50² mod 11

m² ≡ 50² mod 9 <=> m ≡ ±50 ≡ ±5 mod 9
m² ≡ 50² mod 11 <=> m ≡ ±50 ≡ ±6 mod 11
(au plus seulement deux solutions à x² ≡ a mod pⁿ avec p premier)

On utilise alors le théorème des restes chinois :
1/9 ≡ 5 mod 11 et 1/11 ≡ 5 mod 9
m ≡ ±5.5.11 ± 6.5.9 ≡ ±77 ± 72 ≡ ±5 et ±50 mod 99
soit m = 5, 49, 50, 94

y ≥ 0 => m ≤ 50, restent m = 5, 49, 50
y = (2500 - m²)/99 = 25, 1 et 0
x = 50 - y ± m = 25±5, 49±49 et 50±50
et l'ensemble de toutes les solutions : 2025, 3025, 0001, 9801, 0000, 10000.
Seules 2025 et 3025 étant parfaitement valables, car les autres donnent des nombres commençant par 0.
On peut à la limite accepter 9801 = (98+01)² mais 0001 = (00+01)² n'a rien à faire ici, ni (00+00)² = 0000.
10000 = (100+00)² est une solution (douteuse) à 5 chiffres.

nombres de 6 chiffres, n=3

Soit m² ≡ 500² mod 999
999 = 27×37 : m² ≡ 500² mod 27 et m² ≡ 500² mod 37

m² ≡ 500² mod 27 <=> m ≡ ±500 ≡ ±14 mod 27
m² ≡ 500² mod 37 <=> m ≡ ±500 ≡ ±19 mod 37
1/27 = 11 mod 37 et 1/37 = 19 mod 27
m = ±19.11.27 ± 14.19.37 = ±648 ± 851 = ±203 et ±500 mod 999
Soit m = 203, 499, 500 et 796
y ≥ 0 => m ≤ 500, m = 203, 499, 500
y = (250000 - m²)/999 = 209, 1, 0
x = 500 - y ± m = 291±203, 499±499, 500±500
et les solutions : 088209, 494209, 000001, 998001, 000000, 1000000
la solution 088209 comportant en fait 5 chiffres : (88+209)² = 88209
et la solution 1000000 en comporte 7 : (1000+000)² = 1000000.
Aucune nouvelle solution à 4 chiffres (x<10) sous la forme 00xyyy.
Quant aux solutions à 6 chiffres, il faut aussi poursuivre pour chercher les 00xxyyyy et les 0000xyyyyy.

nombres de 8 chiffres, n=4

Soit m² ≡ 5000² mod 9999
9999 = 9×11×101 : m ≡ ±5000 ≡ ±5 mod 9, m ≡ ±5000 ≡ ±6 mod 11 et m ≡ ±5000 ≡ ±51 mod 101
1/(9×11) ≡ 50 mod 101
1/(9×101) ≡ 8 mod 11
1/(11×101) ≡ 7 mod 9

m ≡ ± 5.7.11.101 ± 6.8.9.101 ± 51.50.9.11 ≡ ±8888 ± 3636 ± 2475 mod 9999
Soit m = ±50, ±2777, ±7727 ou ± 5000 mod 9999
La condition m ≤ 5000 nous laisse : m = 50, 2272, 2777, 4999 ou 5000
Et les solutions :
y = (25000000 - m²)/9999 = 2500, 1984, 1729, 1, 0
x = 5000 - y +/- m = 2500+/-50, 3016+/-2272, 3271+/-2777, 4999+/-4999, 5000+/-5000
24502500, 25502500, 07441984, 52881984, 04941729, 60481729, 00000001, 99980001, 00000000 et 100000000
et aucune nouvelle solution à 4 chiffres, ni à 6 chiffres.

Les seules solutions à 4 chiffres valides sont :  2025, 3025, 9801 

Pour trouver toutes les solutions à 6 chiffres, il faut aussi vérifier qu'il n'y en a pas de nouvelles parmi les solutions à 10 chiffres sous la forme 0000xyyyyy.

nombres de 10 chiffres, n=5

Soit m² ≡ 50000² mod 99999
99999 = 9×41×271 : m ≡ ±50000 ≡ ±5 mod 9, m ≡ ±50000 ≡ ±21 mod 41 et m ≡ ±50000 ≡ ±136 mod 271
1/(9×41) ≡ 224 mod 271
1/(9×271) ≡ 39 mod 41
1/(41×271) ≡ 2 mod 9

m ≡ ± 5*2*41*271 ± 21*39*9*271 ± 136*224*9*41 ≡ ±11111 ± 97560 ± 41328 mod 99999
soit avec m ≤ 50000 : m = 27778, 32656, 45121, 49999, 50000
y = (2500000000 - m²)/99999 = 17284, 14336, 4641, 1, 0
x = 50000 - y ± m = 32716±27778, 35664±32656, 45359±45121, 49999±49999, 50000±50000
0493817284, 6049417284, 0300814336, 6832014336, 0023804641, 9048004641, 0000000001, 9999800001, 0000000000, 10000000000
Et aucune nouvelle solution à 6 chiffres. Les seules solutions à 6 chiffres valides sont :

 494209, 998001