Les sabliers

On dispose de deux sabliers mesurant l'un 7mn et l'autre 11mn

Mesurer 15mn avec ces sabliers

Démarrer les deux sabliers.
Quand le 7mn arrive au bout, le retourner.
Quand le 11mn arrive au bout, le 7mn coule depuis 11 - 7 = 4mn. Le retourner en plein vol
Il repart pour 4mn.
A la fin on a 11 + 4 = 15mn.

Obtenir un intervalle de 3mn

On veut faire cuire des oeufs coque (3mn) avec ces sabliers. Démarrer les deux sabliers.
Quand le 7mn arrive au bout, le retourner.
Quand le 11mn arrive au bout, mettre les oeufs dans l'eau bouillante.
Il reste 3mn avant la fin du 7mn.

Obtenir un intervalle de 10mn

Démarrer les deux sabliers.
Quand le 7mn arrive au bout, le retourner, mettre les oeufs.
Quand le 11mn arrive au bout, le retourner.
Quand le 7mn arrive au bout, le 11 mn coule depuis 3mn. Le retourner pour dupliquer ces 3mn.

Cas général

On peut ainsi obtenir tous les intervalles de temps de mn en mn.
La procédure générale est la suivante :
Obtenir un intervalle de 1mn. Retourner alors répétitivement les deux sabliers pour dupliquer cet intervalle de 1mn jusqu'à l'infini.

Le plus difficile est d'obtenir cet intervalle de 1mn.
Encore Diophante ! 11x - 7y = 1 donne x = 2, y = 3, soit retourner 2 fois le sablier de 11mn et 3 fois celui de 7mn
Au bout des 21 mn, quand le sablier de 7 se termine, il reste 1 mn dans celui de 11.
Au bout des 22 mn, il s'est écoulé 1mn dans le sablier de 7
Si on retourne au vol ce sablier, il coulera pendant 1mn.
Entretemps le sablier de 11, retourné lui aussi coule.
Au bout de la minute on retourne les deux sabliers, il reste donc 1mn dans le sablier de 11 etc...

Cette méthode peut se généraliser avec des sabliers quelconques :
on peut obtenir tout intervalle de temps multiple du PGCD des deux sabliers.

La méthode de duplication du temps étant fastidieuse, on peut obtenir directement un temps t avec l'équation 11x - 7y = ± t. Par exemple pour obtenir 3mn :
11x - 7y = 3, x = 6, y = 9, il faut attendre 63 minutes (retourner 9 fois le sablier de 7mn) et
11x - 7y = -3, x = 1, y = 2 avec une attente de 11mn seulement.

Ce n'est pas forcément la méthode la plus rapide : t = 15, x = 2, y = 1, temps de latence 7mn.
Avec la méthode par duplication de temps, le temps de latence est 0.