chacune des 2n personnes serre la main de 2n - 2 autres.
Il y a eu 2n(2n-2)/2 = 2n(n-1) poignées de main
2n(n-1) = 60 donne n = 6 couples (n = -5 n'entre bien sûr pas en ligne de compte)
Cette fois, quelques couples sont partis avant la fin.
A la fin de la fête, ceux qui restent échangent la moitié des poignées de mains qu'ils auraient échangés
si tous étaient restés.
Combien de couples à cette petite fête ? combien sont partis avant la fin ?
Soit x le nombre total de couples et y ceux qui restent.
2x(2x-2) = 2×2y(2y-2) et en posant 2x-1 = u et 2y-1 = v :
(u+1)(u-1) = 2(v+1)(v-1) et u² - 2v² = -1 soit la même équation de Pell que pour les soeurs Durand
dont les solutions sont :
(u,v) = (1,1) (7,5) (41,29) (239,169) (1393,985) ...
et le nombre de couples :
x = 1, 4, 21, 120, 697 ...
y = 1, 3, 15, 85, 493 ...
x = 1, y = 1 est rejeté car il faut au moins "quelques" couples qui partent avant la fin,
de même x = 4, y = 3 car seul un couple serait parti.
120 couples et plus n'est déjà plus une "petite" fête donc
| 21 couples, 6 sont partis avant la fin |
Maintenant il y a aussi des célibataires à cette fête, à la fin 73 poignées de mains sont échangées.
Combien de couples et combien de célibataires ?
Soit x couples et y célibataires
les couples échangent entre eux 2x(x-1) poignées de main,
les célibataires échangent entre eux y(y-1)/2 poignées de main
et les couples échangent 2xy poignées de main avec les célibataires
2x(x - 1) + y(y - 1)/2 + 2xy = N soit
4x² + 4xy + y² - 4x - y = 2N ou encore
(2x + y)² - 2(2x+y) + 1 + y = 2N + 1 et finalement
(2x + y - 1)² + y = 2N+1
dont toutes les solutions dans Z sont obtenue avec t parcourant Z et
| y = 2N + 1 - t²
2x + y - 1 = ± t, soit x = t(t ± 1)/2 - N |
On veut
y>0 : |t| < sqrt(2N + 1) soit |t| ≤ 12
x>0 : t² ± t - 2N > 0, Δ = 1 + 8N
t > (±1 + sqrt(Δ))/2 ou t < (±1 - sqrt(Δ))/2
soit t < -12 ou t ≥ 12 avec '+', donc seulement t = 12
et t < -11 ou t > 12 avec '-', donc seulement t = -12
et finalement les deux valeurs de t donnent la même unique solution dans N
| x = 5
y = 3 |