Bien sûr une paire correcte est composé d'un gant gauche et d'un gant droit, tous deux de la même couleur.
On va repeindre les gants en rouge et vert pour pouvoir dire que j'ai perdu un gant rouge, par exemple gauche, sans me tromper.
Il me reste x gants gauches rouges et x+1 gants droits rouges, ainsi que y gants verts gauches et y verts droits.
x > 0, y > 0 et 2x + 2y + 1 < 200
Pour avoir une paire correcte il faut donc tirer un gant gauche rouge parmi les x,
et un gant droit rouge parmi les x+1, ou bien un gant vert de chaque main.
Paires correctes = x(x + 1) + y×y
Comme il y a 2x + 2y + 1 gants en tout, le nombre de tirages possibles de deux gants est :
(2x + 2y + 1)(2x + 2y)/2 = 2x² + 4xy + 2y² + x + y
La probabilité d'une paire correcte est donc
2/5 = (x² + y² + x)/(2x² + 4xy + 2 y² + x + y)
soit x² - 8xy + y² + 3x - 2y = 0
Les solutions évidentes (x,y) = (0,0) (0,2) et (-3,0) ne conviennent pas et une résolution systématique s'impose.
En multipliant l'équation par 4 : 4x² - 32xy + 4y² + 12x - 8y = 0 soit (2x - 8y + 3)² - 60y² + 40y - 9 = 0 qui avec le changement de variable u = 2x - 8y + 3 donne : u² - 60 y² + 40 y - 9 = 0.
En multipliant par 3 :
3u² - 180y² + 120y - 27 = 0
ou
3u² - 20(3y - 1)² - 7 = 0
et la substitution v = ±(3y - 1) donne :
3u² - 20v² = 7
dont les solutions sont u = ±3, v = ±1 ainsi que toutes celles obtenues
par les formules u' = Pu + 20Qv, v' = 3Q + Pv avec P et Q solution fondamentale de
l'équation de Pell
X² - 3×20×Y² = 1 soit
P = 31, Q = 4, et donc u' = 31u + 80v, v' = 12u + 31v
En reportant alors cette relation de récurrence dans les substitutions de variables
on obtient les relations de récurrence :
|
xn+1 = 63xn - 8yn + 13
yn+1 = 8xn - yn + 2 à partir de (x0, y0) = (0,0) et (0,2) |
Soit : ...
y = 104 et plus donne au moins 2×(13+104)+1 = 235 gants, et donc x = 13, y = 2 est la seule solution valable. x est donc les gants blancs et j'ai perdu un gant blanc. Il me reste 13 paires de gants blancs et un gant blanc dépareillé, ainsi que 2 paires de gants noirs.
On remarque aussi un phénomène intéressant : dans les solutions positives triées, deux solutions
consécutives ont le même nombre de paires noires ou le même nombre de paires blanches.
Soit x0, y0 une solution.
Alors en portant x0 dans l'équation de départ,
on obtient une équation du second degré en y dont une solution est y0.
L'autre est alors obtenue avec la somme des racines :
y² - (8x0 + 2)y + x0² + 3x0 = 0
soit y0 + y1 = 8x0 + 2
et y1 = 8x0 - y0 + 2
En portant alors y1 dans l'équation, on obtient x1
puisque l'autre solution x0 est connue :
x² - (8y1 - 3)x + y1² - 2y1 = 0
et donc x1 = 8y1 - x0 - 3
En appliquant ainsi alternativement ces deux formules de récurrence on obtient une chaine de solutions
qui sont d'ailleurs les seules.
(x,y) = (0,0) ...
Si on applique les récurrences à l'envers, on obtient les solutions négatives :
...
Cette méthode de résolution simplifiée fonctionne ici car les coefficients x² et y² valent 1, et qu'il n'y a finalement qu'une famille de solutions.
Intéressantes semblent être les probabilités de 27% (plus petite solution >0 x = 7, y = 5) et 36% (x = 72, y = 15)
27% donne 3 solutions fondamentales : (0,0) (7,5) (3599,2013)
et les récurrences :
xn+1 = 2235415645 xn - 1249681356 yn - 545718789
yn+1 = 1249681356 xn - 698618843 yn - 305077311
ainsi que les relations inverses :
xn-1 = -698618843 xn + 1249681356 yn - 1279227411
yn-1 = -1249681356 xn + 2235415645 yn - 2288267289
Soit les solutions positives : ...
36% est plus simple, une seule solution fondamentale (0,0) et les relations de récurrence
xn+1 = 415 xn - 84 yn + 72
yn+1 = 84 xn - 17 yn + 15
ainsi que les relations inverses :
xn-1 = -17 xn + 84 yn - 36
yn-1 = -84 xn + 415 yn - 177
Soit les solutions positives ...