Segments

Etant donné un triangle ABC (avec BC/2 < AC < 2BC)
Trouver D sur BC et E sur AC avec AE = DE = BD, en utilisant la règle et le compas fermant.
Pour satisfaire BC/2 < AC < 2BC, c'est à dire la condition pour que DE soit dans le triangle, C doit être à l'extérieur des cercles d'Apollonius (hachurés) CA = 2CB et CB = 2CA.

OK, compas fermant donc.
Un "cercle centré en un point connu et de rayon connu" est interdit. Doit toujours être remplacé par :
cercle centré en un point connu passant par un point connu
Noté ici cercle(centre, point).
Comme le tracé d'une parallèle n'est pas immédiat avec un compas fermant, je donne les détails de chaque étape.

1) Le cercle (B,A) coupe la droite BC en F, du même côté que C
2) Le cercle (A,B) coupe la droite AC en G, du même côté que C
3) Tracer la parallèle à AB issue de F :
   3a) Le cercle (A,F) coupe le cercle (1) en I != F
   3b) La droite IB coupe le cercle (1) en J != I
   3c) tracer la droite FJ (FJ est donc // AB)
4) Le cercle (G,A) coupe la droite (3) en H (et H' pour la solution "négative")
5) La droite AH coupe la droite BC en D
6) Tracer la parallèle à GH issue de D :
   6a) Le cercle (G,D) coupe la droite GH en K (n'importe lequel, choisir le plus près de D)
   6b) Le cercle (K,D) coupe le cercle (6a) en L != D
   6c) La droite GL coupe le cercle (6b) en M != L
   6d) La droite DM (c'est à dire DM est // GH) coupe AC en E.

Une solution meilleure due à João Pedro Afonso

1. Tracer un point D' arbitraire sur BC. (on peut aussi choisir de commencer par E'...).
2. Tracer le cercle C1 centré en D' de rayon D'B = d'
3. Tracer la parallèle à AC passant par D'. Elle coupe C1 (du côté de AB) en F
4. Tracer le cercle C2 centré en F et de rayon FD' = d'. Il coupe AB en G (vers A) et G₂ (de l'autre côté).
   (Le but de ce cercle est de trouver le point de C1 à distance d' de AB parallèlement à AC)
5. Tracer la parallèle à AC, passant par G. Elle coupe C1 en E'
6. Tracer la droite BE'. Elle coupe AC en E. Le cercle centré en E et de rayon EA donne D sur CB.

En choisissant D' en C, c'est à dire d = CB, on obtient une construction très simple au compas fermant :

1. Tracer le cercle C1 centré en C de rayon CB=d', coupant AC en F
2. Tracer le cercle C2 centré en F et de rayon FC'=d',
   coupant le droite AB en G (du côté de A) et G' (de l'autre côté).
3. Tracer le cercle C3 centré en G et de rayon GF=d'. Il coupe C1 en E'.
4. Tracer la droite BE' pour obtenir E, et le cercle centré en E pour obtenir D, comme d'hab.

Choisir une construction en partant du plus grand côté (BC ≥ AC) pour un point d'intersection E' précis.
Quand l'angle C est petit, on ne peut pas éviter une perte de précision dans le tracé de D à partir du cercle(E,A).
En pareil cas,la méthode avec DE // CE'est préférable :
Tracer le cercle (E',E), coupant E'C en M
Tracer le cercle (M,E), coupant le cercle précédent en P
La droite PE' coupe le cercle (E',E) en Q
La droite EQ est parallèle à E'C.
(avec un compas fermant bien entendu, plus simple avec un compas ordinaire)

Dans toutes ces constructions intervient le choix "intelligent" du bon point d'intersection L'applet "triche" un peu pour remplacer le choix "judicieux" humain ... (le mauvais choix en vert)
Ce "mauvais choix" conduit à des polygones ADEB croisés par exemple, ou en dehors de ABC, voire franchement faux.