Triangles gigognes

Nous apellerons "triangles gigognes" une suite de triangles imbriqués, les sommets de l'un étant sur les côtés du précédent.
On notera PQR ∈ ABC pour noter que P est sur AB, Q sur BC et R sur CA.
Deux triangles sont dits "parallèles" si leurs côtés correspondants sont parallèles.
Des triangles gigognes forment une "suite parallèle" si tous les triangles de même parité sont parallèles.

Ceci étant défini, montrer que pour toute suite parallèle de triangles gigognes, les aires forment une progression géométrique. Montrer que les centres d'homothétie de T_n et T_n+2 sont tous confondus.

En particulier pour trois triangles gigognes PQR ∈ ABC ∈ VTU avec PQR // TUV, l'aire de ABC est moyenne proportionnelle entre les aires de PQR et de TUV

Aire(PQR)Aire(TUV) = Aire(ABC)²

Indice

Détails

Avec mes remerciements à Rainer Rosenthal, qui cherchant une solution "AHA" au problème du triangle inscrit minimum, a proposé cette généralisation sous le titre "Babuschka Dreiecke".