Distances - Solution

Soit v1 la vitesse de M partant de B, v2 celle de N partant de O et d la distance OB.
La distance x des deux mobile est en fonction du temps : x² = (d - v1t)² + (v2t)²
Elle est extrémale (minimale) quand sa dérivée s'annule soit 2v2²t - 2v1(d - v1t) = 0
C'est à dire au temps  t = d v1/(v1² + v2²) 
Nota : Le mobile M atteint O plus tard que ce temps puisque d/v1 > d/v1.1/(1 + v2²/v1²)

La distance minimale est alors :  xmin = d v2 / √(v1² + v2²) 

Toute cette méthode est un peu pénible, dérivées, toutça...
Considérons le mouvement relatif des deux mobiles dans un référentiel lié à l'un d'eux, disons N.
Alors le déplacement de M dans ce référentiel est la différence des deux "vecteurs déplacements"
Soit finalement la vitesse relative est la différence des deux vitesses V = V1-V2.
La trajectoire de M est alors la droite BH. Et le point le plus proche de N le point H.
Les deux triangles rectangles OV1V2 et HBO étant semblables : OH/OB = OV2/V1V2 soit :
xmin = d v2 / √(v1² + v2²) avec juste Pythagore, et sans dérivées.
Le temps est le temps mis par M pour aller de B à H à la vitesse V = V1-V2.
soit puisque BH = OB v1 / √(v1² + v2²) et comme v = √(v1² + v2²),
t = BH/v = d v1/(v1² + v2²) comme ci dessus.

Cette méthode a l'avantage immense de se généraliser immédiatement à des angles OAB ≠ 90°.

 

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