La distance minimale est alors : xmin = d v2 / √(v1² + v2²)
Toute cette méthode est un peu pénible, dérivées, toutça...
Considérons le mouvement relatif des deux mobiles dans un référentiel lié à l'un d'eux, disons N.
Alors le déplacement de M dans ce référentiel est la différence des deux "vecteurs déplacements"
Soit finalement la vitesse relative est la différence des deux vitesses V = V1-V2.
La trajectoire de M est alors la droite BH. Et le point le plus proche de N le point H.
Les deux triangles rectangles OV1V2 et HBO étant semblables :
OH/OB = OV2/V1V2
soit :
xmin = d v2 / √(v1² + v2²)
avec juste Pythagore, et sans dérivées.
Le temps est le temps mis par M pour aller de B à H à la vitesse V = V1-V2.
soit puisque BH = OB v1 / √(v1² + v2²)
et comme v = √(v1² + v2²),
t = BH/v = d v1/(v1² + v2²) comme ci dessus.
Cette méthode a l'avantage immense de se généraliser immédiatement à des angles OAB ≠ 90°.