Point dans un carré - Solution

Soit un carré ABCD et un point P dans le carré.
On donne PA=19, PB=29, PC=23

Relation entre a,b,c,d

Soit t le côté du carré et x,y les coordonnées de P
(1) a² = x² + (t-y)²
(2) b² = x² + y²
(3) c² = (t-x)² + y²
(4) d² = (t-x)² + (t-y)²
en ajoutant a² et c² d'une part, b² et d² d'autre part on obtient :
a² + c² = x² + (t-y)² + (t-x)² + y²
b² + d² = x² + y² + (t-x)² + (t-y)² et donc :

a² + c² = b² + d²

Nota. cette relation est valable pour n'importe quel rectangle ABCD de cotés u et v :
a² + c² = b² + d² = x² + (v-y)² + (u-x)² + y²

Quel est la valeur de PD ?
d² = a² + c² - b² = 19² + 23² - 29² = 49, d = 7
Ceci n'est bien sûr possible que si a² + c² > b²

Calcul du côté du carré

En retranchant (3) - (2) on obtient c² - b² = t² - 2tx soit :
x = (t² - c² + b²)/2t
De même en retranchant (1) - (2) : y = (t² - a² + b²)/2t
En portant x et y dans (2) :
(t² - c² + b²)² + (t² - a² + b²)² = 4b²t² et l'équation :

2t4 - 2(a²+c²)t2 + (b² - c²)² + (b² - a²)² = 0

Cette équation peut d'ailleurs prendre d'autres formes en tenant compte de a² + c² = b² + d² :
échanges de b et d, ou de (a,c) et (b,d), ou de a et c.
Avec a=19, b=29, c=23 (et d=7), on obtient : 2t⁴ - 2×890 t² + 327744 = 0
dont les solutions sont : t = √( 445 ± √34153 )
soit t = 25,095922... et t = 16,130551...
Seule la plus grande valeur conduit à un point P intérieur au carré.

La condition d'existence (a²+c²)² - 2(b² - c²)² - 2(b² - a²)² > 0 peut aussi s'écrire (a²+c²-2b²)² < 4a²c² d'où :

|a - c| < b√2 < a+c

pour que P soit à l'intérieur du carré, 0<x<t et 0<y<s
Avec les expresions de x et y cela donne :
0 < (t² - c² + b²)/2t < t soit 0 < t² - c² + b² < 2t² ou |b² - c²| < t²
Et de même pour y.

|b² - c²| < t²   |b² - a²| < t²

Avec les conditions numériques de l'énoncé : t> √480 = 21,9089...

Construction géométrique

La construction de la quatrième distance en fonction des 3 autres est élémentaire :
Construire un triangle rectangle de côtés a et c et son cercle circonscrit (de diamètre PQ). Construire M avec PM = b.

En permutant les sommets, on peut imposer pour la suite a > (b,c,d) et b > d,
Compte tenu de la relation entre a,b,c,d cela veut dire : a > b > d > c

Examinons la construction connaissant a,b,c.
Les sommets ABC forment un triangle rectangle isocèle, avec B l'angle droit. Le sommet A se déduit de C par une rotation de -π/2. D'où la construction :
De P comme centre, tracer les cercles (A), (B),(C) de rayons a, b, c.
On peut alors fixer B n'importe où sur le cercle (B).
Le lieu géométrique de A est (A). Le lieu géométrique de A, image de C, est aussi l'image de (C) par rotation de -π/2.
Traçons donc ce cercle (C'). A est alors l'intersection de (A) et (C').
C se déduit de A par rotation de +π/2, puis compléter le carré ABCD.

Il y a deux solutions A₁ et A₂. Seule la plus grande BA₁ peut conduire à un point P intérieur au carré

Discussion

Pour que A existe, les cercles (A) et (C') doivent se couper c'est à dire puisque PM=b√2,
a-c<b√2<a+c on retrouve la condition analytique.

Vérifier que P intérieur au carré est équivalent (après rotation de -π/2) à comparer la position de M et de l'angle BAx.

L'angle BAM doit être inférieur à π/2, c'est à dire A extérieur au cercle de diamètre BM. A doit ausi être au dessus de BM.
La première condition s'écrit a> PF, la deuxième a<PH
Cette dernière condition est plus restrictive que la simple condition d'existence a<b√2+c puisqu'elle s'écrit
a²<b²+(b+c)² = 2b² + c² + 2bc au lieu de 2b² + c² + 2bc√2

Le calcul de PF est plus délicat.
Dans le triangle rectangle BMF : BF² = b² - c² et sin(α) = c/b
Dans le triangle PBF :
PF² = b² + BF² -2b.BF.cos(π/2 -α)= 2b² - c² -2c√(b² - c²)

En conclusion :

{ 2b²+c²-2bc√2, 2b²-c²-2bc√(1-c²/b²) } < a² < 2b²+c²+2bc

Recherche des carrés avec a,b,c,d entiers

Examinons tout d'abord les solutions entières de a² + c² = b² + d²
Si (a,b,c,d) est une solution, (ka,kb,kc,kd) aussi. Seules sont intéressantes les solutions avec PGCD(a,b,c,d) = 1.
N = a² + c² = b² + d² se décompose en somme de deux carrés d'au moins deux façons. On sait (Fermat) que N est somme de deux carrés si et seulement si les exposants des facteurs premiers de la forme 4k+3 de N sont pairs.
L'étude des décompositions de N en somme de carrés est plus commode en utilisant les entiers de Gauss Z[i], de la forme u+iv. Alors les nombres premiers 4k+3 sont aussi premiers dans Z[i], et par conséquent un facteur premier 4k+3 de N divise a,b,c et d. De même 2=-i(1+i)² est particulier et si l'exposant de 2 est pair, 2 divise a,b,c,d.

La recherche des N se décomposant en somme de deux carrés d'au moins deux façons N = a² + c² = b² + d²
avec PGCD(a,b,c,d)=1 se limite donc à l'ensemble des nombres de la forme N = 2ⁿ.∏p_i^mi
avec tous les facteurs premiers p_i de la forme 4k+1 : 5, 13, 17, 29...
les facteurs premiers de la forme 4k+3 (3, 7, 11, 19...) étant absents, et l'exposant de 2 étant n=0 ou 1.
Le nombre de décompositions de N en somme de deux carrés est d(N)=[(1+∏(mi+1))/2] avec [x] = partie entiere de x.
Il y aura au moins deux décompositions si d(N) ≥ 2 soit ∏(mi+1) ≥ 3 donc si ∑mi ≥ 2
Dans ce décompte est comptée aussi la décomposition peu intéressante p² = p² + 0²
Les carrés de nombres premiers 4k+1 seront donc exclus.
Le double de ces carrés offrant comme deuxième décomposition 2p² = p² + p² tout aussi peu intéressante seront aussi exclus.
Le premier candidat est alors N = 5*13 = 65 = 8² + 1² = 7² + 4²
puis 5*17, 2*5*13, 5*29 ...
Pour chaque couple de décomposition de N trouvé, il reste à vérifier les conditions de résolution du problème géométrique.

5*13 = 65 = 8² + 1² = 7² + 4²	rejeté, pas de solution (a+c<b√2)
2*5*13 = 130 = 11² + 3² = 9² + 7²	t = 9,688227
5*17 = 85 = 9² + 2² = 7² + 6²	t = 7,699702
2*5*17 = 170 = 13² + 1² = 11² + 7²	rejeté, pas de solution
5*29 = 145 = 12² + 1² = 9² + 8²	t = 8,998363
5*37 = 185 = 13² + 4² = 11² + 8²	t = 11,661657
5*41 = 205 = 14² + 3² = 13² + 6²	rejeté, pas de solution
13*17 = 221 = 14² + 5² = 11² + 10²	t = 13,405522
...

Comme (t.√2)² > a² > (a²+c²)/2 = N/2 Il suffit de vérifier les valeurs de N < 4t² = 237,14...
Toutes les autres valeurs de N conduisent à des t > 7,699702
La plus petite solution est donc :

9² + 2² = 7² + 6²   t = √( (85+√1127)/2 ) = 7,6997019638...

Si on veut aussi le côté t entier, le problème est conjecturé sans solutions.