Pizza II - solution

Les segments de cercle, entre la corde et la circonférence, sont évidemment égaux deux à deux.
Il suffit donc de s'intéresser aux triangles.
En notant × le produit vectoriel, et toutes les valeurs étant des vecteurs :
2.Aire(PAB) = PA×PB = (OA - OP)×(OB - OP) = OA×OB - OP×OB - OA×OP + OP×OP
Et comme OP×OP = 0, et avec OA×OP = - OP×OA :
2.Aire(PAB) = OA×OB - OP×(OB - OA)

La différence des aires bleues et mauves est Aire(PAB) - Aire(PBC) + Aire(PCD)...
tous les termes en OA×OB = OB×OC etc sont égaux et s'éliminent deux à deux
reste 1/2 OP×( (OA - OB) - (OB - OC) + (OC - OD) ...) soit :
OP×( (OA + OC + OE + OG) - (OB + OD + OF + OH) )
et dans la parenthèse, tous les termes s'éliminent deux à deux (OA + OE = 0 etc) :
CQFD

Une preuve plus élémentaire utilise Aire(POA) = Aire(POE) (bases égales)
et de même pour tous les triangles de même sorte qui sont égaux deux à deux.
Aire(PAB) = Aire(OAB) + Aire(POB) - Aire(POA) et de même
Aire(PDE) = Aire(ODE) - Aire(OPE) - Aire(OPD)
Dans la différence des aires bleues et mauves :
Aire(PAB) - Aire(PDE) ... =
    Aire(OAB) - Aire(ODE) : s'éliminent
    -Aire(POA) - (-Aire(OPE)) : s'éliminent
etc... avec les autres triangles de même sorte.
Mais il est un peu fastidieux d'écrire le tout en recensant les 16 triangles élémentaires concernés par les 24 termes de Aire(bleue) - Aire(mauve),
plus expéditif est le calcul de deux secteurs opposés seulement. Voir ci-dessous.

Généralisation

En fait la découpe en 8 parts est là uniquement pour ressembler au théorème "classique" de la pizza, car ici il suffit de 4 parts pour deux convives.
En faisant abstraction des segments de cercle égaux deux à deux et en considérant l'aire des triangles :
2.Aire bleue - 2.Aire verte = OP×( (OA-OB) - (OB-OC) + (OC-OD) - (OD-OA)) = 0 comme ci dessus (OA+OC = 0 etc...)
Ou démonstration sans produit vectoriel avec les triangles élémentaires, voir ci-dessous.

Et ceci se généralise à 2n parts pour n convives.
En faisant abstraction des segments de cercle tous égaux et en considérant l'aire des triangles :
2.Aire bleue = 2.OA×OB + OP×((OA - OB) + (OD - OE)) = 2.OA×OB, indépendante de P et égale à l'aire des deux triangles OAB et ODE, soit 1/3 de l'hexagone (1/n du 2n-gone).

Ou démonstration sans produit vectoriel avec les triangles élémentaires :
Aire(PAB) = Aire(OAB) + Aire(POA) + Aire(POB)
Aire(PDE) = Aire(ODE) - Aire(POD) - Aire(POE)
et comme (bases égales) Aire(POA) = Aire(POD), et Aire(POB) = Aire(POE) :
Aire bleue = Aire(PAB) + Aire(PDE) = Aire(OAB) + Aire(ODE)
Cette démonstration doit être complètée par une discussion soigneuse sur les signes + et - (triangles à ajouter/retrancher), que l'on évite en utilisant le produit vectoriel.