Triangle maximum #0 - Solution

Soit un cercle de centre M et un point A quelconque.
Trouver deux points B et C sur le cercle tels que l'aire du triangle ABC soit maximale.

Fixons le point B et laissons C libre sur le cercle.
Aire(ABC) = AB.CH ne dépend que de la hauteur CH
L'aire est maximale quand la hauteur est maximale, c'est-à-dire quand la tangente en C au cercle est parallèle à AB, ou encore la hauteur est normale au cercle, c'est-à-dire que le centre du cercle est sur cette hauteur.
En échangeant le rôle de B et C : le centre du cercle est sur chacune des hauteurs issues de B et C.

Aire(ABC) maximum <=> Le centre du cercle est l'orthocentre de ABC

Donc la 3ème hauteur est aussi la médiatrice de BC (perpendiculaire à la corde BC) et ABC est isocèle.

Corollaire 1

Soit I le milieu de BC. Les triangles CHB, CIM et AIB = AIC sont tous semblables.
D'où la relation métrique IM / IC = CI / AI, ou :

IM.IA = IC²

Soit CQ la tangente au cercle en C. Q est le pôle de BC.
CQ _|_ MC, donc les triangles QIC et CIM sont semblables. Donc les triangles QIC et AIC sont égaux.

Aire(ABC) maximum <=> Le pôle de BC est symétrique de A par rapport à BC

Bien que ceci semble juste une relation curieuse, cette propriété s'avèrera fondamentale pour les autres problèmes. En effet tout point P de BC est conjugué de Q...

Construction géométrique

De la relation IM.IA = IC² résulte IM.IA = r² - IM² ou :
IM.(IM+IA) = r²
Soit U le milieu de MA, IM+IA = 2.IU. Nous obtenons IM.IU = r²/2.
IM.IU est la puissance de I par rapport au cercle de diamètre MU, c'est-à-dire IM.IU = IT² avec IT tangente au cercle.
Le triangle VMK est égal au triangle VTI par rotation.

D'où une construction géométrique :

Sur le rayon perpendiculaire à MA, tracer MK = r/√2
Placer le point V sur MA tel que MV = MA/4.
Tracer VI = VK.

Si A est à l'intérieur du cercle, il y a deux solutions. L'une est le maximum absolu, avec l'angle A aigu. L'autre est un maximum local avec l'angle A obtus.

Quand A est exactement au centre du cercle, la solution dégénère en une infinité de solutions, le triangle ABC tournant librement autour du centre M = A.
Ce cas donne un triangle rectangle isocèle
(angle A = 90°, angle B = angle C = 45°) et MI = r/√2

Bien entendu, si A est sur le cercle, ABC est équilatéral et MI = r/2.