Compas à pointe sèche
On dispose d'un compas à pointe sèche, incapable de tracer le moindre cercle.Par contre, il peut donner le point d'intersection d'un cercle et d'une ligne tracée au préalable.
(Cette utilisation limite du compas à pointes sèches est plus riche que l'utilisation traditionnelle en simple transporteur de distance.)
Avec la règle et ce compas, construire :
1) Un carré de côté donné AB
D'un point M quelconque en dehors de la droite AB, "tracer" le cercle passant par A, il recoupe AB en N.
Tracer MN. Le cercle le recoupe en P. AP est la perpendiculaire en A à AB.
Tracer AM. Le cercle le recoupe en Q. Tracer NQ.
Reporter la distance AC = AB sur AP et NH = AB sur NQ.
Tracer CH et reporter CD = AB pour obtenir le carré ABCD.
Noter que les intersections de droites et de cercles sont obtenues "avec le compas", c'est à dire en "traçant" le cercle qui coupe alors la droite préalablement tracée. Le contraire est impossible, on ne peut pas "tracer" au préalable le cercle et construire "avec le règle" le point d'intersection, puisque le compas ne "trace" pas vraiment...
La construction peut même se faire avec un compas bloqué à ouverture = AB :
Tracer une droite Ax quelconque. Reporter AM = AB sur cette droite, etc...
2) Le milieu d'un segment donné AB
Reporter BC = AB sur la droite AB.
Tracer une droite quelconque passant par B.
Le cercle de centre A de rayon AC coupe cette droite en D et E.
Tracer AD et AE.
Le cercle de centre A de rayon AB coupe AD en F et AE en G.
La droite FG coupe AB en son milieu (Thalès).
3) Un triangle équilatéral de côté donné AB
D'un point P quelconque, le cercle de centre P de rayon PB recoupe AB en M.
Tracer MP. Le cercle recoupe MP en N. Tracer BN.
Reporter BD = AB sur la droite AB.
Le cercle de centre A de rayon AD coupe BN en E. Tracer AE.
Le cercle de centre A de rayon AB coupe AE en C.
Toutes les points constructibles à la règle et au compas ordinaires sont
constructibles avec le compas à pointe sèche.
Ceci résulte du théorème de Poncelet Steiner affirmant que ces points
sont constructibles à la règle seule, un unique cercle et son centre étant donné.
Noter que le compas à pointe sèche utilisé de cette façon n'est pas un simple "transporteur de distance" :
Il permet de construire l'intersection d'un cercle et d'une droite quelconques.
La seule restriction par rapport aux constructions usuelles est qu'il est impossible de construire
directement l'intersection de deux cercles.
La construction indirecte de cette intersection est passablement compliquée :
Tout d'abord : 4) tracé de la perpendiculaire issue de P à une droite (d)
Un cercle quelconque de centre P coupe (d) en A et B.
Le cercle recoupe AP en C et BP en D.
Reporter AE = AD sur AD
CE coupe (d) en M, milieu de AB.
PM est la perpendiculaire à (d) issue de P.
Si P est sur (d), la construction ne marche pas, mais c'est alors plus simple :
Un cercle de centre M quelconque passant par P recoupe (d) en A.
Il recoupe AM en Q, PQ est la perpendiculaire en P à (d).
5) Médiatrice du segment AB
Plutôt que de construire le milieu de AB, puis la perpendiculaire à AB en son milieu, une construction directe est possible :
Un cercle de centre P quelconque de rayon PA recoupe AB en C.
Le cercle recoupe AP en D et PC en E.
Reporter EH = AB sur ED.
Reporter AF = AE sur AE.
FH coupe AB en son milieu M.
AH et BE se coupent en N. MN est la médiatrice de AB.
Et maintenant : 6) intersections de deux cercles
Les cercles sont donnés par leur centre et leur rayon, mais ne sont bien sûr pas tracés (impossible avec la pointe sèche !).
Tracer une droite quelconque et les intersections C et D du cercle (A) avec cette droite.
Tracer la perpendiculaire AM issue de A à CD.
Choisir un point P quelconque sur le cercle (B), pas sur CD.
Tracer la médiatrice de PD.
Elle coupe AM en O (centre du cercle (O) circonscrit à CDP)
Tracer BO et la perpendiculaire PQ à BO issue de P.
CD est l'axe radical des cercles (O) et (A).
PQ est l'axe radical des cercles (O) et (B).
Leur intersection N est le centre radical des cercles (A) (B) et (O), donc sur l'axe radical de (A) et (B)
Tracer la perpendiculaire issue de N à AB.
Le cercle (A) coupe cette perpendiculaire en E et F, points d'intersection des deux cercles.
Ceci complète ainsi une preuve directe (sans le théorème de Poncelet Steiner) que tout point constructible avec la règle et le compas ordinaire est constructible avec la règle et le compas à pointe sèche utilisé de cette façon.
Transporteur de distance
L'utilisation traditionnelle du compas à pointes sèches en simple transporteur de distance ne permet que la seule utilisation suivante :| Etant donnés trois points A, B, C et une droite passant par C, reporter CD = AB sur la droite |
Parallèle en P à une droite (D)
Soient deux points A et B quelconques sur la droite
Tracer une droite quelconque passant par A et reporter une distance quelconque AI = AP de part et d'autre de A sur cette droite.
Sur la droite IB reporter BQ = BI.
PQ est parallèle à AB
Médiatrice de AB
AQ et BP se coupent en J.IJ coupe AB en son milieu M.
Sur une droite quelconque passant par M, reporter MC = MA (le triangle AMC est isocèle).
Sur la droite AC reporter CH = HD = AM.
Reporter AU = AD puis sur UM, MV = MU, CV // AM
Le triangle DEC est homothétique de AMC et donc isocèle, EC = ED.
La médiane EH est donc aussi perpendiculaire à CD
Sur la droite AC reporter AF = DE.
Le triangle AFM est donc égal au triangle DEH (DH = AM, DE = AF et <)HDE = <)FAM),
Donc FM _|_ AM est la médiatrice de AB
