Plus petit triangle - solution

Un terrain est limité par deux routes faisant un angle. Un puits sur le terrain (encore !).
On veut clôturer une partie triangulaire avec le puits sur un côté.

a) Plus petite surface

Pour une surface donnée, S = 1/2 OA.OB sin(Ô) et l'enveloppe des droites AB avec OA.OB = cte est une hyperbole.
Le point de contact M est le milieu de AB.
Celle cherchée est donc la tangente issue de P à cette hyperbole.
La plus petite surface est obtenue quand l'hyperbole est le plus près possible de O, c'est à dire quand elle passe par P.
La droite AB est alors la tangente en P à cette hyperbole et P est alors le milieu de AB.

Si vous n'êtes pas convaincu par cette démonstration sans aucun calcul, rien ne vous empêche de choisir OA = x de calculer la surface S(x) de OAB avec AB passant par P = (u,v) de calculer la dérivée de S(x) pour trouver le minimum de S(x).
C'est simplement plus pénible...

On est donc ramené au problème suivant : étant donné P, construire AB tel que P soit le milieu de AB.

Tracer les parallèles PU et PV aux deux routes.
Le triangle "des milieux" UVP a ses côtés parallèles à OAB, soit AB parallèle à UV.

Une autre construction simple :
Construisons le point M : OM = 2.OP
Tracer les parallèles MA et MB aux routes
Dans le parallélogramme OAMB, les diagonales se coupent en leur milieu.

Enfin je ne résiste pas à utiliser ici le joli "théorème du papillon" qui donne une construction certes plus compliquée, mais aussi plus "magique" !
Tracer de P les perpendiculaires CD et EF aux deux routes.
Les points CDEF sont cocyclique, sur le cercle de diamètre DE, de centre M.
Tracer la corde UV telle que P soit le milieu de UV, soit UV _|_ PM.
Le théorème du papillon affirme alors que P est aussi le milieu de AB !
(Le cercle n'a pas besoin d'être réellement tracé, juste le milieu M de DE)

b) Plus petit périmètre

Considérons le cercle exinscrit au triangle OAB, tangent en M à AB, en H à OA, et en K à OB.
MA = AH et MB = BK, donc le périmètre de OAB = OH + OK = 2.OH
Conclusion : l'enveloppe des droites AB avec périmètre de OAB = cte est ce cercle, avec OH = cte/2.
La droite AB qui nous intéresse est la tangente issue de P.
Le périmètre sera minimum quand ce cercle sera le plus petit possible, tout en restant extérieur à OAB, il passe alors par P et AB est tangent en P à ce cercle minimum. C'est le même raisonnement que pour l'hyperbole du a)...

Le problème est donc maintenant de tracer un cercle passant par P et tangent aux deux routes.
Traçons un cercle quelconque de centre J, sur la bissectrice de l'angle Ô, et tangent aux deux droites.
La droite OP coupe ce cercle en M, le plus près de O.
Un cercle homothétique de centre K passant par P est obtenu en traçant la parallèle à MJ issue de P, coupant la bissectrice en K.
La droite AB est la tangente à ce cercle en P, soit la perpendiculaire en P à KP.
Le tracé effectif du deuxième cercle est toutefois superflu car on peut alors tracer directement AB comme perpendiculaire issue de P à JM.

Nota : Si on prend le point M le plus éloigné de O, on obtient une droite AB tangente en P au cercle inscrit à OAB.
Ceci permet de résoudre le problème suivant :

Construire AB passant par P tel que le "détour" de A à B en passant par O soit maximal.
On appelle "détour" la quantité AO + OB - AB, différence entre le trajet direct AB et le détour par O.