Théorème du papillon

Soit un cercle de centre O, une corde AB de milieu C
et deux autres cordes quelconques DE et FG passant par C.
FD et FE coupent AB en M et N.

 C   est aussi le milieu de MN 

Une démonstration élémentaire :
Les angles inscrits <)DFG = <)DEG et <)FDE = <)FGE
Les triangles FCD et ECG sont donc semblables et FD/FC = EG/EC

Traçons les perpendiculaires OH _|_ DF et OJ _|_ EG
H est le milieu de la corde DF :
FD = 2.FH, et de même EG = 2.EJ, soit 2.FH/FC = 2.EJ/EC
ou FH/FC = EJ/EC et comme <)HFC = <)JEC,
les triangles FCH et ECJ sont semblables, donc <)FHC = <)EJC

OCMH cocycliques, sur le cercle de diamètre OM (les angles en C et H sont droits)
Donc les angles inscrits <)MHC = <)MOC, de même <)NOC = <)NJC et donc <)MOC = <)NOC
Les triangles rectangles MOC et NOC sont donc égaux et CM = CN
CQFD.