Problème de Napoléon

Napoléon (Bonaparte) est connu non seulement comme stratège militaire et Empereur, mais aussi comme joueur d'échecs et mathématicien amateur.
Plusieurs problèmes portent le nom de "problème de Napoléon"

Construire au compas seul le centre d'un cercle donné

Tout est dans le titre.
Un cercle étant donné sans son centre, construire avec seulement un compas, le centre de ce cercle.
Solution
Il y a d'autres solutions, dont celle là même de Napoléon (en fait de Mascheroni et rapportée en France par Napoléon).

Construire au compas seul quatre points équidistants sur un cercle donné

C'est à dire construire un carré inscrit dans un cercle donné.
Si le cercle est donné sans son centre, commencer comme précédement par construire son centre A.
Choisir un point arbitraire sur ce cercle = 1er sommet B.
Il reste à construire E diamétralement opposé à B, M et P tels que BM=BP=AB√2
Solution

Triangles semblables sur un triangle ABC

Soient un triangle quelconque ABC, et les trois triangles PBA, BMC et ACN directement semblables (ie sans retournement) à ABC, extérieurs à ABC.
Montrer que les centres de gravité R, S et T de ces trois triangles forment un triangle semblable à ABC.
(c'est aussi vrai pour tous les points homologues dans les trois triangles comme les 3 orthocentres etc...)

Triangles équilatéraux sur un triangle ABC

Soient les trois triangles équilatéraux ABP, BCM et CAN construits sur les côtés d'un triangle quelconque ABC.
Les trois centres de gravité I, J et K de ces trois triangles forment un triangle équilatéral (théorème de Napoléon).
Page avec fichier Geogebra

Triangles équilatéraux sur un segment - "chapeau de Napoléon"
Ceci est un cas particulier du problème précédent, avec C sur AB.
Quel est le lieu du centre de gravité de IJK quand C parcourt AB ? Indice

Démonstration du théorème de Napoléon :