Compas seul - Solutions
Milieu d'un segment AB
Traçons le cercle de centre B pasant par A, reportant 3 fois AB sur ce cercle à partir de A donne le point C diamétralement opposé à A (AC=2AB).Les cercles de centre C passant par A et de centre A passant par B se coupent en D et E.
Les cercles de centre D et E passant par A se recoupent en M, milieu de AB.
Démonstration :
Par symétrie, M est sur la droite AB
Soient A' le symétrique de A par rapport à C, intersection du cercle de centre C et de la droite AB
et N l'intersection des droites AB et CD (points non construits, mais pour la démonstration seulement).
Dans le triangle rectangle ADA' avec la hauteur DN on a AD² = AN.AA' = 4AN.AB
N est le milieu de AM par symétrie et AM = 2AN donc AD² = AB² = 2AM.AB et AB = 2AM.
Carré de côté AB
Traçons le cercle de centre A passant par B et reportons 3 fois AB sur ce cercle pour obtenir les points C, D, E.E est diamétralement opposé à B. Traçons les cercles de centres B passant par D et E passant par C.
Ils se coupent en F qui est par symétrie sur la perpendiculaire en A à AB.
Le cercle de centre B de rayon AF coupe le cercle de centre A de rayon AB en M.
N est alors l'intersection des cercles de centres B et M de rayon AB, pour complèter le carré AMNB.
Ceci permet aussi de résoudre le second problème de Napoléon : construire un carré BMEM' inscrit dans un cercle donné.
Démonstration :
Dans le triangle rectangle BDE : BD = DE√3 = AB√3
Dans le triangle rectangle ABF : AF² = BF² - AB² = BD² - AB² = 2AB²
Donc BM = AF = AB√2 est la diagonale d'un carré de côté AB.
Centre d'un cercle
Tracer un cercle quelconque de centre A sur (C) et coupant (C) en B et C.Depuis B reporter 3 fois le rayon AB sur ce cercle (1,2,3) pour obtenir D opposé à B.
Les cercles de centre D et de rayon CD (4) et de centre A de rayon CD (5) se coupent en E.
Le cercle de centre E et de rayon CD (6) coupe le cercle de centre A de rayon AB en F.
Les cercles de centres A et B (7,8) de rayon BF se coupent en O qui est le centre du cercle (C).
Démonstration :
Les triangles EAD et EFA sont isocèles et égaux par construction.
Les angles en A vérifient FAB+FAE+EAD=180° donc FAB = FEA et le triangle ABF est isocèle et semblable aux deux précédents. Soit BF/AF = AF/AE et comme AE = CD et AF = AB : AB² = BF.CD.
Dans le triangle ABC la hauteur AH est telle que AB.AC = 2R.AH avec R rayon du cercle circonscrit au triangle ABC, c'est à dire le cercle (C).
Les triangles rectangles BHA et BCD sont semblables donc AH = 1/2 CD soit AB.AC = AB² = R.CD
Finalement BF = AB²/CD = AB²/(AB²/R) = R est le rayon de (C).
Autres constructions
Perpendiculaire
Etant donné 3 points ABC, construire le projeté othogonal de C sur AB.Les cercles de centres A et B passant par C se recoupent en C', symétrique de C par rapport à AB. Construire comme ci-dessus le milieu H de CC'.
