Le campeur
Un campeur se trouve à 105m de la rivière et à 100m de son camp, celui-ci étant à 45m de la rivière.
Il veut retourner à son camp, en passant à la rivière chercher de l'eau.
Plus court trajet ?
Soit P le point où il rejoint la rivière et C le symétrique de son camp par rapport à la rivière.
PB = PC et son trajet est donc AP + PB = AP + PC.
Il sera minimum quand APC alignés : point M.
AK = 105 - 45 = 60 et donc BK = √(100² - 60²) = 80, AD = 105 + 45 = 150
et un trajet AC = √(80² + 150²) = 170m
Les triangles ALM et ADC semblables, donc LM = DC.AL/AD = 56m.
nota : Un énoncé à valeurs rationnelles est obtenu en choisissant deux triangles de Pythagore AKB et ADC avec un côté égal KB = DC.
Via la rivière et le bois
Soit M le point où il va prendre de l'eau.
Comme précédemment, le trajet le plus court de M à son camp
est défini par le symétrique C du camp par rapport à l'orée de la forêt.
Ce trajet MNB est égal à MC.
Le trajet AMC le plus court est alors défini par D, symétrique de C par rapport à la rivière.
Le trajet total AMNB est donc égal à AD.
La composition des deux symétries est une rotation de centre O d'angle
2θ = -120°.
S'il va d'abord à la forêt, AN'M'B, c'est le point D', rotation d'angle +120° (les symétries dans l'ordre inverse).
La comparaison des deux trajets dépend donc de la position de A par rapport à la médiatrice de DD'.
Mais cette médiatrice est OB (rotations de ±2θ, donc D et D' symétriques).
Il doit donc aller d'abord à celui de la rivière ou de la forêt qui est du même côté que lui par rapport à cette droite OB,
même s'il était plus près de l'autre au départ !
Reste à prendre en compte les données de l'énoncé.
Soit BQ = d = 200 et BJ = h = 350
L'angle BCH = 60°, donc CH = BC/2 = d et BH = d√3, ID = d + h
JK = BP = 2d/√3 et OK = PK/√3 = h/√3
soit OI = (h - d)/√3
De même en appelant a = 250 et AL = m = 100 les distances de A au bois et à la rivière :
OL = (2a + m)/√3 et IL = (2a + m - h + d)/√3
Et AD = √((ID+AL)² + IL²) =
√{(d+h+m)² + (2a+m-h+d)²/3}
AD = √(650² + 450²/3) = 700
IM = IL.ID/(ID+AL) = (2a + m - h + d)(d+h)/((d+h+m)√3)
OM = OI + IM = 3100√3 / 17 ≈ 315.84...m
Ces formules sont valables si A est du côté "rivière" de OB :
| m/a < h/d |
Avec a = 150, m = 200, on a encore 200/150 < 350/200 et il faut encore aller à la rivière d'abord.
Le trajet est √(750² + 350²/3) = 100√543 / 3 ≈ 776.75 m
Enoncé rationel
Avec (a, d, h, m) entiers, il est impossible d'éliminer le √3 de OM et ON non nuls.Par contre on peut obtenir des AD entiers comme suit :
AD = √{(d+h+m)² + (2a+m-h+d)²/3} et en posant x = d + h + m et 3y = 2a + m - h + d : x² + 3y² = z² avec x,y,z entiers.
3y² = (z + x)(z - x) soit z + x = 3kr², z - x = ks², PGCD(r,s) = 1
| z = k(3r² + s²), x = k|3r²-s²|, y = 2krs si r et s de parité opposée
z = k(3r² + s²)/2, x = k|3r²-s²|/2, y = krs si r et s de même parité |
Choisir r et s, k = 1.
3y + x = 2a + 2m + 2d étant pair, on peut être amené à choisir k pair : k = 2.
Par exemple : r = 3, s = 1, z = 14, x = 13, y = 3
3y + x = 22 soit a + m + d = 11
3y - x = -4 soit h - a = 2
On choisit des valeurs avec d < a (pour viser d/h < a/m)
Par exemple d = 4, a = 5, m = 2, h = 7
Et on multiplie par k = 50 arbitraire :
| d = 200, h = 350, a = 250, m = 100 : AD = kz = 700 |
x = d + h + m = 13k soit m = 13k - 550
h - a = (x - 3y)/2 = 2k soit a = 350 - 2k
dm < ah : 52k - 2200 < 2450 - 14k soit 66k < 4650 et k ≤ 70
a < m soit 350 - 2k < 13k - 550 ou 900 < 15k ou k > 60
Le choix de k = 62 donne a = 226, m = 256, AD = 62×14 = 868.
