Triplets de Pythagore - Formules

Le théorème de Pythagore est bien connu :
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypothénuse.
La réciproque est aussi vraie : si dans un triangle la somme des carrés de deux côtés est égale au carré du troisième, ce triangle est rectangle.

On peut chercher les cas où les côtés sont des nombres entiers, soit x² + y² = z².
Le plus simple est 3² + 4² = 5² donnant "l'équerre à ficelle" du problème.
De tels "triplets de Pythagore" étaient connus des Babyloniens, un millénaire avant Pythagore !

Si x et y tous deux impairs, x = 2m + 1, y = 2n + 1, z² = x² + y² =4(m² + n² + m + n) + 2 ne peut pas être un carré, car un carré est forcément un multiple de 4 ou un multiple de 4 plus 1.
Au moins un des deux x ou y est donc pair : soit x = 2m et alors y et z sont de même parité.
x² = 4m² = z² - y² = (z + y)(z - y), z + y et z - y étant tous deux pairs, soit z + y = 2p et z - y = 2q, y = p - q, z = p + q, m² = pq. Posons p = kr², q = k's² où k et k' sont sans facteurs carrés. kk' doit être un carré donc k = k' et m = krs.
On a donc nécessairement :

x = 2krs   y = k(r² - s²)   z = k(r² + s²)

Réciproquement, tout triplet de nombres (k,r,s) donne une solution en vertu de l'identité (a + b)² = (a - b)² + 4ab.

Les solutions obtenues sont dites primitives si x,y et z n'ont pas de diviseur commun.
Ceci nécessite k = 1, r et s de parité opposée (sinon r² + s² et r² - s² seraient pairs). Si p est un diviseur premier commun à r et s, il divise r² et s² donc x, y et z. Il est donc nécessaire que r et s soient premiers entre eux.
Réciproquement (si r et s premiers entre eux) soit p un diviseur premier de rs, s'il divise r alors il ne divise pas s donc ni r² + s² ni r² - s² La condition nécessaire et suffisante pour que PGCD(x,y,z) = 1 est :

k = 1, PGCD(r,s) = 1, r et s de parité opposée

Si on fait varier r et s comme indiqué avec r > s > 0 (inégalités strictes), chaque triplet n'est obtenu qu'une fois (le démontrer).
On peut ainsi facilement obtenir des tables de triplets de Pythagore.

Nota :
L'étude des formes quadratiques ternaire (trop compliqué pour être ici...) donne une autre méthode pour obtenir tous les triplets de Pythagore. En partant de la solution "triviale" X₀ = (1,0,1), on multiplie par chacune des matrices

U =

(1,2,2) (2,1,2) (2,2,3)

V =

(-1,-2,-2) ( 2, 1, 2) ( 2, 2, 3)

W =

( 1, 2, 2) (-2,-1,-2) ( 2, 2, 3)

ce qui donne trois nouvelles solutions, on multiplie chacune d'elles par U, V et W ce qui donne 9 nouvelles solutions etc...
La première étape, donne seulement (1,0,1)×U = (3,4,5)
Les étapes suivantes donnent :
(3,4,5)×U = (21,20,29)    (3,4,5)×V = (15,8,17)    (3,4,5)×W = (5,12,13)
puis chacune d'elles multipliées par U, V, W donnent :
(55,48,73), (45,28,53), (7,24,25)
(119,120,169), (77,36,85), (39,80,89)
(65,72,98), (35,12,37), (33,56,65) etc...
Roberts a montré en 1977 que toutes les solutions primitives sont obtenues par (x,y,z) = (1,0,1)×L
où L est un produit des matrices U,V,W.

Problème inverse

On peut s'intéresser aux problèmes inverses :

• déterminer si un nombre donné peut être l'hypothénuse d'un triangle rectangle à côtés entiers
• si oui de combien de façons.
• combien y a-t-il de triplets de Pythagore dont l'hypothénuse est inférieure à un nombre donné

Intéressons nous tout d'abord au problème de savoir si un nombre donné peut être une hypothénuse.
z = k(r² + s²) avec r > s > 0 doit donc avoir un diviseur qui est une somme de deux carrés.

On montre (théorème de Fermat-Girard) que les seuls nombres somme de deux carrés sont :

• le nombre 2
• les nombres premiers de la forme 4k + 1
• les carrés des nombres premiers de la forme 4k + 3
• les produits de tels nombres

Comme on veut r > s > 0, 2 = 1² + 1² ne convient pas. Un carré d'un facteur premier a = 4k + 3 ne se décompose qu'en a² + 0², et ne convient pas non plus. En définitive :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit l'hypothénuse d'un triangle rectangle à côtés entiers (non nul) est qu'il comporte au moins un facteur premier de la forme 4k + 1.

Pour compter le nombre de triplets qui comportent cette hypothénuse, on est ramené au problème de la décomposition en sommes de carrés.

Problèmes dérivés

On peut aussi particulariser les triplets (triangles) de Pythagore pour chercher :

• triangles de Pythagore dont l'hypoténuse ainsi que la somme des côtés de l'angle droit sont des carrés
  Solution
• triangles de Pythagore dont l'aire est un carré
  Solution

A propos de l'aire d'un triangle à côtés entiers, on montre facilement qu'elle est multiple de 6.
Qui plus est si le triangle est primitif :

l'aire est multiple de 30 ssi l'hypothénuse n'est pas multiple de 5