Quadrature

Un problème ancien est celui de la quadrature du cercle. C'est à dire construire (à la règle et au compas) un carré d'aire égale à celle d'un cercle donné.
Ce problème a résisté pendant des siècles jusqu'à ce qu'on prouve que c'est impossible. En effet il est équivalent à construire un segment de longueur π.
Un nombre n'est constructible à la règle et au compas que s'il est solution de certaines équations algébriques bien particulières. Or π est transcendant, c'est à dire n'est solution d'aucune équation algébrique (sur Q).
Malgré cela de nombreux farfelus continuent à proposer des méthodes de quadrature du cercle, la pierre philosophale et le mouvement perpétuel...

S'il est impossible de réaliser la quadrature du cercle, il est possible d'effectuer des constructions approchées, basées sur des approximations de π.
La plus connue de ces approximations est π≈22/7 = 3,1428... au lieu de 3,141592...

Une possibilité de réaliser cette construction est :
EB = R/4, AF = AB, OP parallèle à EF, AC = AP.
AE = R + 3R/4 = 7R/4
AC = AP = AO × AF/AE = R × 8/7
Le segment BC = R × (2 + 8/7) = R × 22/7.
Le cercle de diametre BC et la perpendiculaire en O à BC se coupent en D. BD est le côté du carré cherché : BD² = BO×BC = R² × 22/7

L'erreur est (22/7 - π)/π ≈ 0,0004 soit moins de un pour mille (les erreurs de construction pratique sont plus importantes !).