Construction de Renaldini

Approximation de Renaldini pour π/n et la construction approchée du polygone régulier à n côtés.

ABC est un triangle équilatéral, AP = AB/r. Alors t ≈ π / r
 cos(π / r) ≈ cos(t) = (r - 2)×( 3r + √(r² + 8r - 8) ) / ( 4(r² - r + 1) ) 
en posant r = n/2 et donc t = 2π/n on construit une approximation AQ du côté du polygone à n côtés.

Les erreurs sont pour diverses valeurs de n :

n approx 2π/n 2π/n err 2π/n approx sn sn err sn %

Ceci n'est pas d'une précision extraordinaire, il y a une amélioration par rapport à la méthode originelle.
En fait la construction donnant une valeur exacte pour π/3, au lieu de construire 2π/n on va construire kπ/n ≈ π/3
Ce qui conduit à la construction d'un polygone étoilé, dont on sait déduire aisément le polygone convexe correspondant.
Par exemple n = 19 : k/19 ≈ 1/3 donne k = 6 soit AP/AB = 1/r = 6/19.

t = 18° 57' 23", erreur 0° 0' 32", QQ' = 0.329346, erreur = 0.05%, à comparer avec la valeur précédente de 3.3%.

Une autre amélioration possible serait de construire l'angle le plus proche d'une autre valeur exacte, π/2 :

à partir du centre


ABC est encore un triangle équilatéral et OP = AB/n.
Alors t ≈ π / n et QQ' une approximation du côté du n-gone.
 sin(π / n) ≈ sin(t) = (6n + 2√(3n² - 8) ) / (3n² + 4) 

Et les erreurs associées :

n approx 2π/n 2π/n err 2π/n approx sn sn err sn %

Ce qui est nettement meilleur, sans besoin d'un polygone étoilé.

 

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