Les tangentes communes en D, E, F sont les axes radicaux de ces cercles deux à deux,
elles sont donc concourantes en un point I, centre radical de ces cercles.
ID = IE = IF et ces droites étant perpendiculaires aux côtés de ABC, I est le centre du cercle inscrit et
DEF les points de contacts
D'où l'existence et l'unicité des trois cercles mutuellement tangents extérieurement
(voir annexe pour des cercles tangents intérieurement)
Il existe deux cercles solutions. (P') correspond au cercle de Soddy extérieur cherché (P).
L'autre (P") est l'image du cercle de Soddy intérieur.
Le point de contact U de (P) avec (A) est l'image de U' et est donc sur EU'.
De même pour les points de contacts V et W avec (B) et (C).
Enfin P, E et P' sont alignés puisque les cercles (P) et (P') sont inverses l'un de l'autre.
D'où une construction du point de Soddy extérieur :
On construit les points de contact DEF du cercle inscrit, et le cercle (A) de centre A passant par D (et F)
La perpendiculaire en A à BC coupe ce cercle en U' du côté de BC et en U" de l'autre côté.
Soit P' le symétrique de A par rapport à U'
Soit U l'autre intersection de EU' avec le cercle (A)
Les droites AU et EP' se coupent en P, centre du cercle de Soddy extérieur.
U est le point de contact de (A) avec ce cercle, et donc le cercle de Soddy extérieur est le cercle de centre P passant par U.
On opère de même avec U", P" pour construire le point de Soddy intérieur.
Cette construction devenant ici imprécise, on préfèrera la variante suivante :
On considére aussi le point V", image du point de contact avec (B) dans l'inversion de pôle F :
La perpendiculaire en B à AC coupe le cercle (B) en V", opposé à AC.
Soit Q" le symétrique de B par rapport à V"
Soit P" le symétrique de A par rapport à U" comme ci-dessus,
Le centre S du cercle de Soddy intérieur est l'intersection de EP" avec FQ".
Le point de contact U" est ramené en U, autre intersection de EU" avec (A)
(pas tracé sur la figure)
Et finalement le cercle de Soddy intérieur est le cercle de centre S passant par U
Soit le cercle (P), de centre P, tangent aux trois cercles (A) (B) (C), cercle de Soddy extérieur, qui si les cercles
(A) (B) (C) ne sont pas trop différents, entoure ces cercles.
Les cercles (A) (B) (C) étant tangents intérieurement en U, V et W.
On a : PU = PV = PW = RP rayon du cercle de Soddy
CW = CE et BV = BE
Le périmètre de PCB est donc PV + PW = 2RP
Et de même pour les deux autres triangles
Théorème : Le point de Soddy extérieur est le point d'isopérimètres
Ceci bien entendu si le cercle de Soddy externe (P) contient les cercles (A) (B) (C).
Si le plus petit des cercles (A) (B) (C) est si petit que (A) (B) (C) sont extérieurs à (P),
il n'y a pas de point d'isopérimètres.
La valeur limite est quand le cercle de Soddy externe est une droite :
UV² = AB² - (BU-AV)² = (rA + rB)² - (rA - rB)² et donc UV = 2√(rArB)
et de même pour VW et UW = UV + VW donne la condition d'existence du point d'isopérimètres :
1/√rA < 1/√rB + 1/√rC ou aussi :
a + b + c > 4R + r
où r est le rayon du cercle inscrit et R celui du cercle circonscrit. |
Le point de Soddy intérieur est aussi le point "d'égal détour".
Appelons détour de A à B par S la quantité AS + SB - AB.
Si S est le point de Soddy intérieur, le détour est 2ρ
avec ρ le rayon du cercle de Soddy intérieur, et est le même pour AB, BC et AC.
Enfin, si le point de Soddy extérieur n'est pas le point d'isopérimètre, c'est un second point d'égal détour
(quand a + b + c < 4R + r).
De façon générale, les rayons des cercles de Soddy sont donnés par la
formule de Descartes, à partir des rayons
des cercles (A), (B), (C) qui sont
(formules classiques des points de contact du cercle inscrit)
cercle (A) : rA = AD = AE = (AB + AC - BC)/2 = p - a en appelant p le demi-périmètre de ABC
et de même pour les deux autres.
La droite de Soddy passe par le centre du cercle inscrit |