Formule de Soddy - Descartes

The Kiss Precise par Frederick Soddy
Dans Nature #137, 1936

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.

Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

Etendu aux sphères : (Nature #139, 1937)

To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.

Cette formule relie les rayons de 4 cercles tangents deux à deux.
En posant k = 1/r la courbure d'un cercle. On a alors

 2(k1² + k2² + k3² + k4²) = (k1 + k2 + k3 + k4)² 

Si un des cercles entoure les trois autres sa courbure est < 0.
Si un des cercles est une droite, sa courbure est nulle.

Cette formule établie par Descartes a été popularisée par Soddy sous la forme d'un poème "le Baiser précis", étendue aux sphères, puis généralisée à n dimensions.

Elle permet de trouver le rayon du 4ème cercle tangent aux trois autres :

  r4 = r1r2r3 / ( r1r2 + r1r3 + r2r3 ± 2√(r1r2r3(r1 + r2 + r3)) ) 
(Un script)

Nous allons donner la démonstration de Philip Beecroft (1842).
Considérons tout d'abord deux familles de 4 cercles tangents deux à deux :
Les cercles (C1) à (C4) de rayons r1 à r4 et de courbures k1 à k4
Les cercles (Γ1) à (Γ4) de rayons R1 à R4 et de courbures m1 à m4

4) est le cercle inscrit du triangle ABC de côtés a, b, c.

En appelant p le demi-périmètre p = (a + b + c)/2, les formules de Heron donnent :
R4² = (p-a)(p-b)(p-c)/p.
De plus r1 = p - a, r2 = p - b, r3 = p - c et r1 + r2 + r3 = p
On en tire :  m4² = k1k2k2(1/k1 + 1/k2 + 1/k3) = k1k2 + k2k3 + k1k3  
 

En considérant de même les cercles (Γ1) à (Γ3) de centres O1 à O3 et le cercle C4 inscrit dans O1O2O2 :
 k4² = m1m2 + m2m3 + m1m3 
Ainsi que les formules obtenues en permutant les indices (en considérant les cercles exinscrits).

On obtient ainsi la somme des carrés des ki et des mi :
 ∑ki² = 2∑mimj et ∑mi² = 2 ∑kikj 

Calculons alors le carré de la somme des ki: (∑ki)² = ∑ki² + 2∑kikj = ∑ki² + ∑mi²
Et de même (∑mi)² = ∑mi² + ∑ki²
donc (∑ki)² = (∑mi)², et puisqu'elles sont >0 :  ∑ki = ∑mi 

Calculons alors l'expression :
(k1 + k2 + k3 + k4)(k1 + k2 + k3 - k4) = (k1 + k2 + k3)² - k4² = k1² + k2² + k3² + 2m4² - k4² =
2,3,4mimj + ∑1,3,4mimj + ∑1,2,4mimj - ∑1,2,3mimj + 2m4² = 2(m1m4 + m2m4 + m3m4) + 2m4² = 2m4(∑mi)

Et donc, puisque ∑mi = ∑ki :  k1 + k2 + k3 - k4 = 2m4 
En élevant au carré les 4 égalités semblables et en ajoutant, les termes en kikj s'éliminent et il reste :
 ∑ki² = ∑mi² 

Et donc (∑ki)² = ∑ki² + 2∑kikj = ∑ki² + ∑mi² = 2∑ki²
Soit finalement la formule de Descartes :

 (∑ki)² = 2∑ki² 

 

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