Formule de Soddy - Descartes

The Kiss Precise par Frederick Soddy Dans Nature #137, 1936 For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. 'Tis not so when four circles kiss Each one the other three. To bring this off the four must be As three in one or one in three. If one in three, beyond a doubt Each gets three kisses from without. If three in one, then is that one Thrice kissed internally. Four circles to the kissing come. The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance form the center. Though their intrigue left Euclid dumb There's now no need for rule of thumb. Since zero bend's a dead straight line And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum. Etendu aux sphères : (Nature #139, 1937) To spy out spherical affairs An oscular surveyor Might find the task laborious, The sphere is much the gayer, And now besides the pair of pairs A fifth sphere in the kissing shares. Yet, signs and zero as before, For each to kiss the other four The square of the sum of all five bends Is thrice the sum of their squares.

Cette formule relie les rayons de 4 cercles tangents deux à deux.
En posant k = 1/r la courbure d'un cercle. On a alors

 2(k₁² + k₂² + k₃² + k₄²) = (k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² 

Si un des cercles entoure les trois autres sa courbure est < 0.
Si un des cercles est une droite, sa courbure est nulle.

Cette formule établie par Descartes a été popularisée par Soddy sous la forme d'un poème "le Baiser précis", étendue aux sphères, puis généralisée à n dimensions.

Elle permet de trouver le rayon du 4ème cercle tangent aux trois autres :

  r₄ = r₁r₂r₃ / ( r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ ± 2√(r₁r₂r₃(r₁ + r₂ + r₃)) ) 
(Un script)

Nous allons donner la démonstration de Philip Beecroft (1842).
Considérons tout d'abord deux familles de 4 cercles tangents deux à deux :
Les cercles (C₁) à (C₄) de rayons r₁ à r₄ et de courbures k₁ à k₄
Les cercles (Γ₁) à (Γ₄) de rayons R₁ à R₄ et de courbures m₁ à m₄

(Γ₄) est le cercle inscrit du triangle ABC de côtés a, b, c.

En appelant p le demi-périmètre p = (a + b + c)/2, les formules de Heron donnent :
R₄² = (p-a)(p-b)(p-c)/p.
De plus r₁ = p - a, r₂ = p - b, r₃ = p - c et r₁ + r₂ + r₃ = p
On en tire :  m₄² = k₁k₂k₂(1/k₁ + 1/k₂ + 1/k₃) = k₁k₂ + k₂k₃ + k₁k₃  
 

En considérant de même les cercles (Γ₁) à (Γ₃) de centres O₁ à O₃ et le cercle C₄ inscrit dans O₁O₂O₂ :
 k₄² = m₁m₂ + m₂m₃ + m₁m₃ 
Ainsi que les formules obtenues en permutant les indices (en considérant les cercles exinscrits).

On obtient ainsi la somme des carrés des k_i et des m_i :
 ∑k_i² = 2∑m_im_j et ∑m_i² = 2 ∑k_ik_j 

Calculons alors le carré de la somme des k_i: (∑k_i)² = ∑k_i² + 2∑k_ik_j = ∑k_i² + ∑m_i²
Et de même (∑m_i)² = ∑m_i² + ∑k_i²
donc (∑k_i)² = (∑m_i)², et puisqu'elles sont >0 :  ∑k_i = ∑m_i 

Calculons alors l'expression :
(k₁ + k₂ + k₃ + k₄)(k₁ + k₂ + k₃ - k₄) = (k₁ + k₂ + k₃)² - k₄² = k₁² + k₂² + k₃² + 2m₄² - k₄² =
∑_2,3,4m_im_j + ∑_1,3,4m_im_j + ∑_1,2,4m_im_j - ∑_1,2,3m_im_j + 2m₄² = 2(m₁m₄ + m₂m₄ + m₃m₄) + 2m₄² = 2m₄(∑m_i)

Et donc, puisque ∑m_i = ∑k_i :  k₁ + k₂ + k₃ - k₄ = 2m₄ 
En élevant au carré les 4 égalités semblables et en ajoutant, les termes en k_ik_j s'éliminent et il reste :
 ∑k_i² = ∑m_i² 

Et donc (∑k_i)² = ∑k_i² + 2∑k_ik_j = ∑k_i² + ∑m_i² = 2∑k_i²
Soit finalement la formule de Descartes :

 (∑k_i)² = 2∑k_i²