Heron et Bretschneider

La formule de Heron donne l'aire d'un triangle en fonction des côtés a, b, c.
En appelant p le demi périmètre p = (a+b+c)/2

S = √( p(p-a)(p-b)(p-c) )

Cette formule se généralise pour un quadrilatère en la formule de Bretschneider :

S = √( (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd.cos²((B+D)/2) )

d = 0 redonne la formule de Heron du triangle et il suffit de démontrer la formule de Bretschneider, bien qu'il y ait une démonstration élémentaire directe de la formule de Heron.

Ceci a aussi pour conséquence : Pour un quadrilatère de côtés a, b, c, d donnés, l'aire maximale est quand ce quadrilatère est inscriptible (B+D = 180°), le terme en cos² est alors nul. et la formule devient la formule de Brahmagupta.

Démonstration de la formule de Bretschneider :
La formule d'Al-Kashi appliquée au triangle ABC donne AC² = a² + b² - 2ab cosB, et de même dans ACD AC² = c² + d² - 2cd cosD et donc : a² + b² - 2ab cosB = c² + d² - 2cd cosD ou encore : (a² + b² - c² - d²)² = (2ab cosB - 2cd cosD)² = 4a²b²cos²B + 4c²d²cos²D - 8abcd cosB cosD [1]

D'autre part, l'aire de ABCD est S = aire(ABC) + Aire(ACD) = 1/2 ab sinB + 1/2 cd sinD soit 16S² = (2ab sinB + 2cd sinD)² = 4a²b²sin²B + 4c²d²sin²D + 8abcd sinB sinD [2]

En ajoutant [1] et [2] et compte tenu que sin² + cos² = 1 et que cosB cosD - sinBsinD = cos(B + D) : (a² + b² - c² - d²)² +16S² = 4a²b² + 4c²d² - 8abcd cos(B+D)

En complétant le carré 4a²b² + 4c²d² : (a² + b² - c² - d²)² +16S² = (2ab + 2cd)² - 8abcd(1 + cos(B+D)) = (2ab + 2cd)² - 16abcd cos²((B+D)/2) car 1 + cos(t) = 2.cos²(t/2)
soit 16S² = ((2ab + 2cd)² - (a² + b² - c² - d²)²) - 16abcd cos²((B+D)/2)

Le premier terme s'écrit (2ab + 2cd + a² + b² - c² - d²)(2ab + 2cd - a² - b² + c² + d²) soit ((a + b)² - (c - d)²)((c + d)² - (a - b)²) ou encore
(a + b + c - d)(a + b - c + d)(c + d + a - b)(c + d - a + b)
et en appelant p = (a + b + c + d)/2 : a + b + c - d = 2(p - d) etc
Et le produit = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)
et donc S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos²((B+D)/2)
CQFD

Preuve élémentaire de la relation de Heron

Considérons le triangle ABC, de côtés AB = c, AC = b et BC = a, de hauteur AH = h.
L'aire de ce triangle est S = BC.AH / 2 = a.c.sin(B) / 2 soit sin(B) = 2S/(a.c)
D'autre part la relation b² = a² + c² - 2 a.c.cos(B) donne cos(B) = (a² + c² - b²)/(2 a.c)
cos²(B) + sin²(B) = 1 s'écrit alors (a² + c² - b²)² + 16S² = 4 a²c² et en factorisant :
16S² = (2a.c + a² + c² - b²)(2a.c - a² - c² + b²) = ((a+c)² - b²)(b² - (a-c)²) soit finalement :
16S² = (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a) QED.

Autre démonstration

Considérons le cercle inscrit et ses points de contact D, E, F, le cercle exinscrit et ses points de contact K,M,N.
L'égalité des tangentes BF et BD (resp AF=AE, CD=CE) donne (AB+BC+AC) = 2(BF+AE+CE) = 2(BF+AC) et donc  BF = BD = p-b  et de même pour  AF = AE = p-a et CD = CE = p-c 
AM = AN = (AM+AN)/2 = ((AB+BK) + (AC+CK))/2 = (a+b+c)/2 = p
et donc  BM = BK = p-c, CN = CK = p-b 

L'aire de BIC = a.r /2 et de même (AIC) = b.r /2 et (AIB) = c.r /2
L'aire de ABC est donc  S = (a+b+c).r /2 = p.r 

De même avec le cercle exinscrit
Aire (ABC) = (AJM) + (AJN) - (BJM) - (BJK) - (CJK) - (CJN) = 2(AJM) - 2(JBC)
 S = (p-a).r_a 

Donc S² = p(p-a).r.r_a

Considérons les triangles rectangles BIF et JBM, ils sont semblables (BI_|_BJ) et donc IF/BM = BF/JM et r.r_a = IF.JM = BM.BF = (p-c)(p-b)

Finalement il vient S² = p(p-a)(p-b)(p-c) QED.

Nota : Les formules précédentes donnent alors immédiatement

r² = (p-a)(p-b)(p-c)/p et
r_a² = p(p-b)(p-c)/(p-a)