Théorème de Pascal

Etant donné six points ABCDEF sur une conique, U intersection de AB et DE, V intersection de CD et AF, et W intersection de EF et BC U,V,W alignés

Ceci s'applique à toute conique en particulier une paire de droites (théorème de Pappus).
Il suffit de le démontrer pour un cercle, et de transformer la figure par projection centrale.

Appliquons le théorème de Menelaüs au triangle GHI avec les transversales : DVC, AUB et EWF.
DVC : VH/VI · CI/CG · DG/DH = 1
AUB : AH/AI . BI/BG . UG/UH = 1
EWF : FH/FI . WI/WG . EG/EH = 1

En multipliant ces égalités et en réarrangeant les termes :
VH/VI . WI/WG . UG/UH . (CI.BI/AI.FI) . (AH.FH/DH.EH) . (DG.EG/CG.BG) = 1
Mais CI.BI = IB.IC = IA.IF = AI.FI = puissance de I.
Et de même pour les autres termes entre parenthèses.
Il reste VH/VI . WI/WG . UG/UH = 1 qui exprime que U,V,W sont alignés.

Les six points étant donnés sur la conique, le "numérotage" est arbitraire et il y a 60 façons de choisir l'hexagone formé par ces six sommets. Croisé comme dans le cas précédent, ou convexe comme ici.

Théorème de Brianchon

C'est la version duale du théorème de Pascal.

Soit un hexagone IJKLMN circonscrit à une conique (c'est à dire les côtés IJ etc. tangents à la conique) IL JM KN concourantes

Soient ABCDEF les points de contact.
D'après le théorème de Pascal, U=AB^DE, V=CD^AF et W=EF^BC sont alignés.
AB est la polaire de I et DE la polaire de L.
C'est à dire que U est conjugué de I et de L. La polaire de U est donc IL.
De même la polaire de V est KN et la polaire de W est JM.
Donc le pôle de UV est l'intersection G de KN et IL
Comme c'est aussi le pôle de la même droite UW, c'est aussi l'intersection de IL et JM. CQFD.