Déterminants de Cayley-Menger

Ces déterminants permettent de calculer le volume d'un tétraèdre étant données ses arêtes.
Ils sont généralisés à une dimensionn quelconque : à deux dimensions on obtient l'aire d'un triangle à partir de ses côtés, c'est la formule de Heron.
à 3 dimensions, on obtient la formule de Piero della Francesca pour le tétraèdre.
à > 3 dimensions, les applications sont plus étranges... De façon générale, à n dimensions :

V² = (-1)n+1/(2n(n!)²) × |Ď|

où Ď est une matrice (n+2)×(n+2) obtenue en bordant la matrice D par une première ligne (0,1,1,1...) et une première colonne (0,1,1,1,...)T
La matrice D étant {d²ij} la matrice des carrés des distances entre le point i et le point j.
Bien entendu dij = dji et dii = 0.

A 2 dimensions, on obtient l'aire d'un triangle :

            | 0   1    1    1   |
S² = -1/16  | 1   0   d²1213 |
            | 1  d²21   0   d²23 |
            | 1  d²3132   0  |
En appelant plus simplement a,b,c les trois côtés :
            | 0  1   1   1  |
S² = -1/16  | 1  0   a²  b² |
            | 1  a²  0   c² |
            | 1  b²  c²  0  |
Après développement on obtient :

16 S² = 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² - a4 - b4 - c4

La factorisation en 16S² = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) ne semble pas évidente
La vérification de cette identité connaissant le résultat à priori ne pose par contre aucun problème !
La forme sous laquelle se présente traditionnellement la formule de Heron :

S = p(p - c)(p - b)(p - a)

est obtenue en divisant par 16, avec (a + b - c)/2 = ((a + b + c) - 2c)/2 = (a + b + c)/2 - c = p - c etc...

Formule de Piero della Francesca

A 3 dimensions, le déterminant de Cayley-Menger s'écrit :
            | 0   1    1    1     1   |
            | 1   0   d²121314 |
V² = 1/288  | 1  d²21   0   d²2324 |
            | 1  d²3132   0   d²34 |
            | 1  d²414243  0   |
Appelons a,b,c les trois arêtes d'une face et x,y,z les arêtes opposées a↔x, b↔y, c↔z
            | 0  1   1   1   1  |
            | 1  0   a²  b²  z² |
V² = 1/288  | 1  a²  0   c²  y² |
            | 1  b²  c²  0   x² |
            | 1  z²  y²  x²  0  |
On remarque que la simple spécification des paires d'arêtes opposées ne suffit pas : en échangeant a et x, ou {a,b,c} avec {x,y,z}, on obtient un autre tétraèdre où x,y,z forment une face, et a,b,c partent d'un même sommet, de volume en général différent !

Si on développe "brutalement" ce déterminant, on obtient la formule de Piero della Francesca :


144 V²  = - a²b²c² - a²y²z² - b²x²z² - c²x²y² 
          + a²c²z² + b²c²z² + a²b²y² + b²c²y²
          + b²y²z² + c²y²z² + a²b²x² + a²c²x² 
          + a²x²z² + c²x²z² + a²x²y² + b²x²y²
          - c²c²z² - c²z²z² - b²b²y² - b²y²y² - a²a²x² - a²x²x²

Nota : On obtient
- les 4 faces affectées du signe "-"
- les 12 autres combinaisons de 3 arêtes, affectées du signe "+"
- les 6 combinaisons u4v² avec u et v des arêtes opposées, affectées du signe "-"

Il n'existe pas de factorisation complète de cette expression.
On trouve diverses factorisations partielles et expressions équivallentes :

144V²   = 4x²y²z² + (y²+z²-a²)(z²+x²-b²)(x²+y²-c²)
          - x²(y²+z²-a²)² - y²(z²+x²-b²)² - z²(x²+y²-c²)² 

144 V²  = a²x²[-(a²+x²)+(b²+y²)+(c²+z²)] 
          + b²y²[(a²+x²)-(b²+y²)+(c²+z²)] 
          + c²z²[(a²+x²)+(b²+y²)-(c²+z²)]
          - (a²+x²)(b²+y²)(c²+z²)/2  - (a²-x²)(b²-y²)(c²-z²)/2
Cette dernière expression regroupant à chaque terme une paire d'arêtes opposées.
Noter que la seule disymétrie concerne le dernier terme en "a²-x²" qui change de signe si on échange a et x.
Ceci prouve que les deux tétraèdres "duaux" ont bien des volumes différents, sauf si ce terme est nul c'est à dire si deux arêtes opposées ont même longueur.

 

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