Sommes de carrés

On se reportera aux travaux de Fermat, Euler, Gauss etc pour des détails et démonstrations.
Notons les résultats suivants :
  1. Tout nombre est somme d'au plus 4 carrés non nuls (théorème de Lagrange)

  2. Tout nombre qui n'est pas de la forme 4n(8k+7) est somme d'au plus 3 carrés non nuls

  3. Les seuls nombres qui sont somme de deux carrés sont (théorème de Fermat-Girard) :
    • le nombre 2 = 1² + 1²
    • Les nombres premiers de la forme 4k + 1
    • Les carrés des nombres premiers de la forme 4k + 3
    •  et les produits de tels nombres

  4. D'ailleurs si deux nombres sont sommes de deux carrés, leur produit aussi, de deux façons :
    (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)² = (ac - bd)² + (ad + bc)²

  5. Par contre un produit de deux sommes de 3 carrés n'est pas forcément somme de 3 carrés :
    26 = 4² + 3² + 1² et 38 = 5² + 3² + 2² alors que 26×36 = 988 = 4×(8×30 + 7) est de la forme (2) et ne peut pas être somme de 3 carrés.

  6. Notons aussi l'identité d'Euler pour les sommes de 4 carrés :
    (a² + b² + c² + d²)(x² + y² + z² + t²) = (ax + by + cz + dt)² + (ay - bx + ct - dz)² + (az - cx + dy - bt)² + (at - dx + bz - cy)²
    ainsi que les formules obtenues en changeant b en -b etc...

  7. Soit N = 2t∏pm∏q2n la décomposition en facteurs premiers de N, où l'on a dissocié le facteur 2, les facteurs premiers p de la forme 4k + 1 et les facteurs premiers q de la forme 4k + 3.
    N est la somme de deux carrés si et seulement si les exposants des facteurs premiers 4k+3 sont pairs
    Alors le nombre de représentations de N comme somme de 2 carrés est r(N) = 4×∏(m + 1) et ne dépend que des exposants des facteurs premier 4k + 1.
    Les représentations (±x, ±y) et (±y, ±x) comptent pour 8 représentations différentes, sauf cas x = 0, y = 0 ou x = y.
    Le nombre de décompositions normalisées de N = x² + y², x ≥ y ≥ 0 est :

    d(N) = [(1 + ∏(m + 1))/2]

    Exemple :
    Le nombre de représentations de 1521000 = 8×3²×5³×13² est 4×(3 + 1)(2 + 1) = 48 (seuls 5 et 13 sont de la forme 4k + 1, d'exposants 3 et 2). Le nombre de décompositions est [(1 + (3 + 1)(2 + 1))/2] = 6.

  8. Pour obtenir la décomposition en somme de 2 carrés d'un nombre premier 4k + 1, on peut opérer ainsi :

    • Par essai de x = 0, 1, 2... jusqu'à trouver un carré p - x². Evident, simple, mais pas très rapide.

    • Ou en itérant les formules :
      y = [_ √(p - x²) _] et x = [¯ √(p - y²) ¯] à partir de x = 0 jusqu'à un reste nul ou x > y.
      Avec [_ z _] plus grand entier n ≤ z et [¯ z ¯] le plus petit entier n ≥ z.
      Par exemple p = 269 x = 0, y = 16, x = 4, y = 15, x = 7, y = 14, x = 9, y = 13, x = 10 et c'est fini : 269 = 10² + 13²

    • Ou encore avec l'algorithme de Legendre :
      A0 = 1, B0 = 0, C0 = -p, N = [√p]
      Répéter jusqu'à An + Cn = 0 (l'arrêt n'est garanti que si p = 4k + 1 premier) :
           mi = [(|Bi| + N)/|Ai|], Ai+1 = Aimi² + 2Bimi + Ci, Bi+1 = Aimi + Bi, Ci+1 = Ai
      Alors p = |An|² + |Bn|².
      Par exemple p = 269 : N = 16, A0 = 1, B0 = 0, C0 = -269
      m0 = 16, A1 = -13, B1 = 16, C1 = 1
      m1 = 2, A2 = 13, B2 = -10, C2 = -13 c'est fini : 269 = 13² + 10²

    • Enfin la méthode de Heath-Brown :
      Pour p = 4k + 1 posons x = k, y = 1, z = 1 puis répéter les transformations
      si x > y + z : x = x - y - z, y = y, z = 2y + z
      si x < y + z : x = y + z - x, y = x, z = 2x - z
      (invariant 4xy + z² = p, x - y + z > 0)
      jusqu'à x = y. Alors p = 4x² + z²
      Par exemple avec p = 29 = 4*7 + 1 x = 7, y = 1, z = 1, y + z = 2
      x = 5, y = 1, z = 3, y + z = 4
      x = 1, y = 1, z = 5 c'est fini 29 = 4 + 25 = 2² + 5²

  9. Pour obtenir toutes les décompositions en sommes de 2 carrés de N = 2t∏pm∏q2n avec p = u² + v² les nombres premiers de la forme 4k + 1 et q les nombres premiers de la forme 4k + 3, on pose le nombre complexe :

    A + iB = e(1 + i)t ∏(u + iv)r(u - iv)m-r ∏qn avec e = {± i, ± 1}, et pour chaque facteur 0 ≤ r ≤ m

    Alors N = A² + B² est une représentation de N en somme de 2 carrés. On les obtient toutes en faisant varier e et chaque r. On n'obtient que les décompositions (non équivalentes) en fixant e et des contraintes sur les r.

    Exemple : N = 1521000 = 8×3²×5³×13², A + iB = e(1 + i)³(2 + i)r(2-i)3-r(3 + 2i)s(3 - 2i)2-s×3
    On peut fixer e = -i de sorte que e(1 + i)³ = 2(1 + i), et les contraintes r = {0,1,2,3} et s = {0,1,2}.
    Mais si on choisit indépendament r et s, on constate que r = 0, s = 0 et r = 3, s = 2 donnent des représentations équivalentes -258-1206i et -1206-258i car les nombres (2 - i)³(3 - 2i)² et (2 + i)³(3 + 2i)² sont conjugués.

    Pour n'obtenir que les 6 décompositions il faut se limiter à r = {0, 1} s = {0, 1, 2}.
    r = 0, s = 0 : 6(1 + i)(2 - i)³(3 - 2i)² = -258-1206i soit N = 1206² + 258²
    r = 0, s = 1 : 6(1 + i)(2 - i)³(3 + 2i)(3-2i) = 1014-702i soit N = 1014² + 702²
    r = 0, s = 2 : 6(1 + i)(2 - i)³(3 + 2i)² = 1038+666i soit N = 1038² + 666²
    r = 1, s = 0 : 6(1 + i)(2 + i)(2 - i)²(3 - 2i)² = 810-930i soit N = 930² + 810²
    r = 1, s = 1 : 6(1 + i)(2 + i)(2 - i)²(3 + 2i)(3-2i) = 1170+390i soit N = 1170² + 390²
    r = 1, s = 2 : 6(1 + i)(2 + i)(2 - i)²(3 + 2i)² = 90+1230i soit N = 1230² + 90²

    De façon générale, il faut limiter un des r à la moitié de ses valeurs. Choisir un p d'exposant impair pour cela. Si tous les p sont d'exposant pair (N est un carré ou le double d'un carré), r sera limité à la moitié de ses valeurs, plus une, de façon récursive sur tous les exposants.

    Par exemple N = 54×134×174 A + iB = (2 + i)r(2-i)4 -r(3+2i)s(3-2i)4 -s(4+ i)t(4-i)4 -t
    r = {0, 1}, s = {0, 1, 2, 3, 4}, t = {0, 1, 2, 3, 4} : limitation sur r, 50 décompositions
    r = 2, s = {0, 1}, t = {0, 1, 2, 3, 4} : r fixé, limitation sur s, 10 décompositions
    r = 2, s = 2, t = {0, 1} : r et s fixés, limitation sur t, 2 décompositions
    r = 2 s = 2 t = 2 : r, s, t fixés, 1 décomposition
    Ce qui donne bien les 63 décompositions de N

    Un Javascript pour donner toutes les décompositions de N avec cette méthode.

Applications :

 

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