Théoreme de Ceva

Ce théorème donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites soient concourantes dans un triangle.

AM, BN, CP concourantes <=> MB/MC × NC/NA × PA/PB = -1

Les valeurs sont signées : MB/MC > 0 si M est extérieur à BC, < 0 si M entre B et C.

Une démonstration élémentaire découle de la remarque que le rapport NC/NA est égal au rapport des distances de C et A à la droite BN. Les triangles BQA et BQC, de base commune BQ, ont alors leurs aires dans le même rapport.
Soit : NC/NA = (BQC)/(BQA).
De même MB/MC = (AQB)/(AQC) et PA/PB = (CQA)/(CQB)
Donc MB/MC × NC/NA × PA/PB = 1 en valeur absolue, et égale à -1 en tenant compte des signes des rapports.

Réciproquement soit P' le point d'intersection de AB et CQ, on a MB/MC × NC/NA × P'A/P'B = -1 d'après le théorème direct. Donc P'A/P'B = PA/PB et P et P' sont confondus.

Application : Point de Gergonne, point de Nagel

Soit un triangle, son cercle inscrit et les points de contact M, N, P avec les côtés.
AP = AN, BP = BM et CM = CN, donc MB/MC × NC/NA × PA/PB = -1
Les droites AM, BN et CP sont donc concourantes : point de Gergonne.

De même pour les points de contact avec les cercles exinscrits, on montre facilement avec les longueurs des tangentes communes que AQ = BP, AR = PC et BR = QC
Par exemple AU = AV soit AB + BP = AC + CP = AC + (BC - BP) d'où BP = (AC + BC - AB)/2
Et de même BA + AQ = BC + CQ = BC + (AC - AQ) et donc AQ = (BC + AC - BA)/2 soit  BP = AQ 

Il en résulte immédiatement que AP, BQ et CR sont concourantes : point de Nagel.

Version trigonométrique

L'aire de BQA = 1/2 BQ.BA.sin(QBA) et de même pour les autres triangles.
Il vient finalement :

AM, BN, CP concourantes <=> sin(NBA)/sin(NBC) × sin(PCB)/sin(PCA) × sin(MAC)/sin(MAB) = -1

Avec les mêmes conventions de signes.

Application : symédianes, Point de Lemoine

Soit AM une médiane et AI la bissectrice de l'angle A, AU la symétrique de la médiane par rapport à la bissectrice. Les droites AM et AU sont dites "isogonales" : BAU = MAC et aussi BAM = UAC.
AU s'appelle la "symédiane".
sin(UAB)/sin(UAC) = 1 / ( sin(MAB)/sin(MAC) ) et donc
Les droites AM... concourantes ⇔ les droites AU... concourantes.

trois droites sont concourantes si et seulement si les isogonales sont concourantes

En particulier les symédianes sont concourantes : point de Lemoine.