Théorème de Bézout

Théorème :
Pour que deux nombres entiers soient premiers entre eux, il faut et il suffit qu'il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que a.u + b.v = 1

Ce théorème s'applique en fait à d'autres anneaux que l'ensemble Z des entiers relatifs.

Démonstration :
1) Si au+bv = 1, le PGCD p de a et b divise au+bv et c'est donc 1.

2) Réciproquement si a et b non nuls sont premiers entre eux, considérons l'ensemble E des nombres a.u + b.v et plus précisément l'ensemble F de ces a.u + b.v > 0. Il y en a au moins un, ne serait ce que a = a×1 + b×0.
Notons p le plus petit d'entre eux et calculons la division de a par p : a = p.q + r   0≤r<p.
r = a - p.q = a - (a.u + b.v)q E. Ce reste r est forcément nul car sinon rF et donc r≥p.
Donc p est un diviseur de a et de même p est un diviseur de b. Donc p = 1 et il existe bien u et v tels que a.u + b.v = 1.
CQFD

Nota : Une démonstration constructive (permettant de calculer effectivement u et v) utilise l'algoritrhme d'Euclide.