Courbes de Bézier

Ces courbes sont définies par des points de contrôle Pi, 0≤i≤n
Le point courant est alors paramètré par  P(t) = PiCni  ti(1-t)n-i 
où les Cni sont les coefficients binomiaux (n! / i!(n-i)!) et le paramètre 0 ≤ t ≤ 1
La courbe définie par ces n+1 points est donc de degré n.
Une propriété importante est qu'elle est tangente aux deux segments extrèmes P0P1 (en P0) et Pn-1Pn (en Pn).
Malheureusement, chaque point intermédiaire influe sur l'ensemble de la courbe.
Il est donc peu commode de choisir les points de contrôle pour obtenir une courbe passant par exemple par des points donnés.
On se restreint alors à une définition par morceaux, chaque morceau étant défini par 3 ou 4 points.

Construction de Casteljau

On remarque que Cni  ti(1-t)n-i = (t + (1-t))n = 1
P(t) est donc le barycentre des points Pi affectés des poids correspondants.
L'associativité des barycentres permet alors de diminuer récursivement le nombre de points.

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. Avec 3 points de contrôle A, B, C cela donne :
Soit M le barycentre de A(t), B(1-t) et N le barycentre de B(t) et C(1-t)
c'est à dire AM/AB = BN/BC = t
On calcule alors que P est le barycentre de M(t) et N(1-t) : MP/MN = t
La courbe ainsi obtenue étant de degré 2, c'est un arc de conique, et plus précisément un arc de parabole.

On peut poursuivre avec les points de contrôle suivants D, E pour une deuxième courbe de Bézier CDE "dans le prolongement" de la première.
Si on impose (comme dans l'applet ci-dessus), que BCD soient alignés, la courbe complète admet une seule tangente en C et est "lisse".
Si B et D sont du même côté de C, on crée un point de rebroussement.
Si on dissocie les directions de BC et CD, on crée un point anguleux en C.

Dans l'applet, on peut déplacer les points de contrôle A,B,C,D,E,
D étant astreint à être sur la droite BC.
Les points déplaçables M (M') définissent le paramètre t du point courant P (P') pour chaque courbe.

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java. La méthode ci-dessus peut être appliquée à 4 points de contrôle :
La construction de Casteljau nécessite alors une itération supplémentaire.
1ère itération : AM1/AB = BN1/BC = CP1/CD = t
2ème itération : M1M2/M1N1 = N1N2/N1P1 = t
Et finalement M2P/M2N2 = t

La courbe est une cubique (du 3ème degré). C'est la courbe qui est générée par l'objet CubicCurve2D de Java awt.geom, par exemple utilisée dans l'applet du jeu des "boucles".

 

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